FORMULES GÉNÉRALES
123. L'attraction exercée par un point M (x, y^ z) ie masse dm sur un point O (a, 6, y) dont la masse est jx
HBUVIÈME LEÇOV. 85
est égale i
[ndm
et les composantes de cette attraction élémentaire, parallèles aux axes de coordonnées, sdnt
■ ■ ant . ■■ «/If f " afn •
en regardant ces composantes comme positives quand elles tendent à diminuer les coordonnées du point attiré.
Pour avoir les composantes A, B, C de l'attraction totale exercée par tous les points do corps attirant, il faudra int^rer les expressions précédentes dans toute retendue de ce corps. On aura ainsi
124. Pour rendre l'intégration plus facile, transportons Torigine au point attiré et désignons par gy A, l les angles que la droite OM fait avec les axes de coordonnées. On a
COSi2r= > cosA=:- f cos^= -•
Prenons en même temps des coordonnées polaires u, &, c^ liées aux angles g^ A, / par les formules
cos^rncosOy (a) { cosA = $în9cos>!i,
cos^=:siD96in4»
86 COfJES DE MéCÀllIQDE.
[ce qu*on voit en faisant u ou r = i (105)]. D'ailleurs on a
dm zzzpWdu sinO dB d-^.
On aura donc
A = — /fil j j pcosgdttsm^d^d'^^ 8 = — /{aI j I pco$hduûnBdBd'^f C = — /f*/ I I pcoskdusin^dBd'^.
Si le point O est intérieur, il faut intégrer par rapport à u depuis ii = o jusqu'à ii = R, R désignant le rayon ▼ecteur terminé à la surface du corps \ par rapport à 9, depuis 0 = o jusqu'à 0 = ir ; par rapport à ^^ depuis ^ = o jusqu'à ^ = aTT.
EÉDUCTION DES INTiCEÀLES GÉKÉBALES ▲ UHE SEULE.
1S5. Les intégrales comprises dans les formules (i) peuvent être ramenées à la seule intégrale triple
étendue à toute la masse du corps.
En effet, puisque
on aura
dV^
da
dV dy
x)dm
SBOTIÈMB LEÇOH. 87
par suite (123)
'^^ df
Ainsi tout le calcul se réduit à la détermination de la fonction V.
PllOPRIÉTÉS DE UL FONCTION Yfc
lâ6. Si le point attiré est extérieur, la difTérentîelle
dm
— ne devient pas infinie dans les limites de Tintera-
tion. On peut donc appliquer les régies de la différentialion ^us le signe à Tintégrale définie ^
et Ton en tirera
d'\ , dt^'^
dy'
Mais à cause de
-fff^
J3- rf2 //?
« // tl
tt = v'(a-x)'-i-(6-r)= + (7 - =)'
on a
dl
du
</«' tf'
ft
88 COURS DE MÊCAIflQUE.
On conclut de cette dernière égalité
Le second membre de Téquation (a) est donc nul, et Ton a
dot}
dî} €/y»
127. Si le point attiré est intérieur, on part des for< mules (6) du n^ 125; en les différentiant on a
d^\ d^V d^__J__(àJ^ dlà dC da} "^ dV "^ d-i^ "" /^\daL "^ dt ^ df
ou, en vertu des formules (3) du n° 124,
d^\ d^\ d^y doL^ ^ dV ^
df '=-J'^j jje'^^^S^^^^dud^d^ "Tm \ \ j p cos h s\n9 du d 9 d'^
Si Ton effectue les diflférentiations en appliquant les r^Ies relatives au cas où les limites d*int^ration sont variables, on trouve
rf'V d*y £»y
da} "*" d^^ ■*" dy^
-fff^
sm^ du dBd^
dû
cos^
rfp\
1 j ptsin9d9d^lco%g^
dK
doL
COftA
COSA-r— If
dK\ dy)
pt et R désignant les valeurs de /» et de u à la surface. On
HBUVlàlfS LEÇOV. 89
a d'ailleurs
dp ^ dû .dp do
COSg-ji- -f-COS^-r^ -hCOSX-r^ =-7"»
aa dZ dy du
i/a ^dia ,dii
dx ao dj
Par conséquent
d^\ d^y d'y rrr.^....dù^
— I j ^tsin^dBd'^.
Maïs si Ton désigne par pi la densité du corps au point O, on a
I 1 js\nBdBd^'^du=z2K I [pi-- pi)9mBdB
= — 4^^?» + / / P» sinô ^^ ^'t 5
donc
COmS DE XÊCiHIQOB.
DIXIÈME LEÇON
