COMME LA VITESSE

208. Quand le mobile possède une très-petite vitesse, on peut regarder la résistance du milieu comme proportionnelle à cette vitesse. Si le corps descend, il faudra

poser

dv gv

gdi

Intégrant et déterminant la constante par la condition

•BIZlkME LBÇOV. l49

qu^on ait à la fois < = o, f' = o, on a d'où

Multipliant par dt et intégrant,

la constante étant dëlerminée par la condition que x=zo pour f = o.

VOUVEMEIIT d'un CORPS DÉKCÉ DE PBSÂirTBUE DÀV8 UN 1UL1EU QUI KÉSISTE COMME LA BACIlfE GAULÉE PB LA VITESSE.

909. Ce cas est intéressant, parce qne le mobile finit par s'arrêter et que cette circonstance répond à une solution particulière de Féquation différentielle.

La résistance du milieu, seule force qui sollicite le mo« bile, agissant en sens inverse du mouvement, on aura

Comme Tunité de vitesse est arbitraire, on peut la choisir de telle sorte que a = a. Alors Véquation précédente revient à

(a) dt= =.

I&(%rant et supposant i^ = a pour ^ = o, on aura

^ cette équation on déduit

-ï ^TT:^l!SnZ f = 0 pOW

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SElZlèMB LEÇOn. l5l

distance initiale du point M, enfin AM=::r Tespace parcouru dans le temps t.

L'accélération (f au point M sera donnée par la pro- * portion

On aura donc

Si Ion multiplie de part et d'autre par adx^ on aura

^dxd^x ^gr*dx

dKv

gr'

DonC) en intégrant et déterminant la constante par la condition que la vitesse initiale soit nulle, on aura

212. Cette formule fait voir que la vitesse augmente avec Xf ce qu'on pouvait prévoir. Si Ton fait

X = AB z= a =zr = h^ il vient

comme on a r<^â, on voit que la vitesse du mobile en arrivant a la surface de la terre est moindre que la vitesse quMl aurait en tombant de la même hauteur h,' si la pesanteur était partout la même qu'à la surface : conséquence évidente.

213. Pour a:=:a, on a (^=00 • Donc, si toute la masse du globe était réunie à son centre, la vitesse acquise par le mobile arrivant au centre serait infinie*

l5o C0UE8 DE MÉCÂIÏIQUB.

d^où l'on tire, en int^rant et supposant x=:o pour

310. La formule (3) fait voir que si t augmente en restant moindre que ^, f' diminue, et que 1^ = 0 pour

f = ^a ^ on a en même temps x = ^ * Ainsi le mobile

s arrêtera après avoir parcouru un espace » et comme

la force accélëratricc est nulle en ce moment, le oorps restera indéfini meut en repos. Cependant les formules (3) et (4) ne conduisent pas à cette conséquence; car i^ et jr

varient pour f^^. Mais, si Ton remonte à l'équation (i), on voit qu'elle est satisfaite par (^ = o, quel que soit d'ailleurs t. Cette solution particulière s'applique

aux cas où f ^ ^; mais elle ne peut s'appliquer au cas ou

t<^ yju^ car au moment du départ la vitesse du mobile

est a et non o. Ainsi, quand on a £ <^ ^, on doit appliquer les formules (3) et (4)9 et la solution particulière

quand on a />^*

CHUTE d'uh coeps dans le vide eu atàkt égaed

▲ hk VAEIATIOM DE LA PESÀMTEUR.

211. Soit M un point matériel pesant tombant dans le ^* 73* vide et placé d'abord à une asseï

grande distance de la surface de la terre. Dans ce cas Tintentité de la pesanteur ne doit pas être regardée comme constante, car cette intensité varie en raisoQ inverse du carré de la distance du point matériel au centre de la terre. Soient OB = r le rayon de la terre, g riutensilé de la pesanteur a la surface, AO = a la

mzièME LEçon. i5i

distance initiale du point M, enfin AM = x Pespace parcouru dans le temps t.

L'accélération f au point M sera donnée par la proportion

On aura donc

g (a — xf

Si Ion multiplie de part et d'autre par a dx, on aura

^dxd^x ^gr^dx

df* ~"(a — 0?)»

rfl -7-) =É?r r 21

DonC) en intégrant et déterminant la constante par la condition que la vitesse initiale soit nulle, on aura

212. Cette formule fait voir que la vitesse augmente avec Xj ce qu'on pouvait prévoir. Si Ton fait

x=:AB=a=r = /i,

il vient

comme on a r<^a, on voit que la vitesse du mobile en arrivant â la surface de la terre est moindre que la vitesse quMl aurait en tombant de la même bauteur Â,-si la pesanteur était partout la même qu'à la surface : conséquence évidente.

213. Pour a: =5 a, on a (^=oo • Donc, si toute la masse du globe était réunie à son centre, la vitesse acquise par le mobile arrivant au centre serait infinie.

l5a COURS DE XÉCAHIQUE.