Si deux forces P et Q sont représentées en gran

deur et en direction par les deux '^' '* côtés contigus AB et AC du pa^

rallélogramme ABCD, la résultante R de ces deux forces sera représentée en grandeur et en direction par la diagonale AD de ce parallélogramme, en sorle que les composantes et la résultante peuvent être représentées par les trois côtés du triangle ABD.

Pour démontrer ce théorème, nous commencerons par faire voir que la résultante^ est dirigée suivant la diagonale AD> en nous appuyant sur le lemme suivant : Soit un losange ABCD, de forme invariable : appliquons

4 COURS DE MÉCAHIQUE.

aux points A et C quatre forces égales dirigées suivant les

côtés AB, AD, CB> CD. On peut regarder comme évident

Fig. a. que les forces égales appliquées

en A donnent une résultante dirigée suivant la bissectrice AC de Tangle BAD, et que les forces appliquées en C donnent une résultante égale et directement opposée à la première. Le système reste donc en équilibre sous Faction des quatre forces.

11. Cela posé, soit y* une commune mesure aux forces P et Q, et admettons, pour fixer les idées, que Ton ait

partageons AB en quatre parties égales et AC en trois parties égales entre elles et par conséquent égales aux premières. Menons EH, FI, GK parallèles à AC, et MS, LN parallèles à AB.

Nous ne troublerons pas Fétat du système en appliquant aux sommets L et E, M et F, CetG, HetB, letN, KetSdes losanges LE, MF, CG, HB, IN, KS, et suivant les côtés de ces losanges, des forces égales kf. Mais les forces égales et contraires appliquées aux extrémités des droites HE, IF, KG, MS, LN se détruisent. Donc il ne reste que quatre forces ^ales à y dirigées suivant CD, et trois forces égales kf dirigées suivant BD. Les quatre premières se composent en une seule égale à P, que Ton peut supposer appliquée au point D, et de même les trois autres donnent une résultante égale à Q et appliquée au même point D. Il résulte de là que le système des deux forces P et Q appliquées en A peut être remplacé par deux forces P et Q appliquées au point D.Donc la résultante passe par le point D; mais elle passe déjà par le point A : donc elle est dirigée suivant AD. c. q. f. d.

PREMIÈRE LSÇOV. 5

Nous avons supposé que les forces P et Q étaient commensnrables entre elles; si elles étaient incommensu* râbles, en employant un mode de raisonnement bien connu, on ferait voir que dans ce cas la résultante est encore dirigée suivant la diagonale AD.

12. Après avoir trouvé la direction de la résultante, il reste & montrer que sa grandeur est représentée par la longueur de la diagonale AD.

Imaginons une force AE égale à la résultante inconnue

et dirigée suivant le prolongement de la diagonale AD. Cette force fera équi* libre aux forces P et Q. Paf conséquent la résultante des forces P et AE sera diiîgée dans le prolongement AF de la droite AC. Or, d'après le numéro précédent, cette direction doit être celle de la diagonale du parallélogramme AEFB. Donc les deux triangles AEF, DAC seront égaux comme ayant un côté égal adjacent à deux angles égaux, savoir : EF = CD, puisque £F = AB = CD^ les angles AFE et ACD égaux comme alternes-internes; les angles AEF et ADC égaux par la même raison. Donc AE = AD. Donc la diagonale représente bien IMntensité de la résultante.