DIFFÉRENTIELLE DE LÀ FORCE VIVE

260. P désignant la force motrice qui sollicite un mobile M et X, Y, Z ses composantes, on a

On tire de ces trois équations

»( -^^ j ==2(xw:r-hy/<rH-zr/5].

Mais la quantité entre parenthèses dans le premier membre est égale à ^ . ^* ; on a donc

(2) d.mf^=::i{Tidx-\-Ydy -^Idz),

S61. Cette équation subsiste, lorsque le point mobile est assujetti & rester sur une courbe ou sur une surface .donnée. En effet, si N est la force qui représente la rcsis- Unce de la courbe ou de la surface, on a

d\T m zr: X -h N COSX,

d\r di*

cosp,

cosv,

iga COURS DE MÉCAMI^Ul.

/, iij V étant les angles que la normale suivant laquelle la force N est dirigée fait avec les axes. On tire de ces équations

dmv^ = 2(X€ix -hYdf -hZdz)

aN (cosXdlr 4- cosyidjr -f- cosvr/s);

mais puisque N est normale à la trajectoire, la dernière parenthèse est nulle. Cette équation se réduit donc à Téquation (a).

262. La quantité mi^*, ou le produit de la masse d'un mobile par le carré de sa vitesse, est ce qu'on appelle la force viv^c du mobile. On a dans tous les cas

d- mv^zsn Xdx -4- Ydj- -f- Zrfs,

X, Y, Z étant les composantes de la force motrice.

AUTRES FORMES DE Hdx -hY djT -hXdz.

263. Soit 0) Tangle PMT que la force motrice P fait Fig. 89. avec la tangente. On

Xdx Y dy Z d%

COSW = — -f- — — -f- — — •

^ ds F ds ^ ds d'où Ton lire (i) Hdx-hYdf -hZdz=zVcMmd£j^

Si Ton décompose la force P en une force tangentieile "^ et une force normale Q, on a T ==: Pcoso). Donc

(2) XrAr H- Yd/ -4- Zdi = Ids.

Eniin, si Ton appelle dp la projection MI de T^^i^ MH = ds sur la direction de la force motrice, on a

et par suite (3)

coswdjk -11 dpj

Xdx H- Ydj -h Zdz — Vdp.

VLHOT ET UMÈMB LBÇOIi. ïgi

Aiofti l'expresaioD ILdx -hY djr -h Zdz est égale : i° au produit de la force motrice P multipliée par Télément de la trajectoire et par le cosinus de Tangle que cette foixe (ait avec la tangente; a^ au produit de Télément de Tare multiplié par la force motrice estimée suivant la tangente ; 3^ au produit de cette force motrice multipliée par la projection de Télément de Tare sur sa direction.

DÉFIM1I3M DU TRAVAIL.

264. Le produit Tffs que i^on obtient en multipliant la composante tangeniielle de la force P par Télément de Tare parcouru dans l'instant dt se nomme travail élémentaire ou élément de trayait de cette force. L'élément de travail est considéré comme positif lorsque la force tangentielle agit dans le sens du mouvement, et comme négatif dans le cas contraire, ou, ce qui revient au même, suivant que Tangle &> est aigu ou obtus. Le signe du travail élémentaire sera donné par Texpression fcos(ùds, en considérant P et ds comme positifs.

Si Ton considère Pcosco^/j comme le produit de P par cos&)//5, on peut dire encore que le travail élémentaire ^t égal au produit de la force par la projection de Téléitient du chemin parcouru sur la direction de cette force.