DIFFÉRENTIELLE DE LA FORCE VIVE

260. P désignant la force motrice qui sollicite un mobile M et X, Y, Z ses composantes, on a

On tire de ces trois équations

dH df

dt^

Xdx-hYdy^Zdz).

Maïs la quantité entre parenthèses dans le premier mem" bre est égale à ^. v*' ; on a donc

(î) d.mu'=::2(Xdj:-h Ydx-hZdz).

261 . Cette équation subsiste, lorsque le point mobile est assujetti à rester sur une courbe ou sur une surface donnée. En effet, si N est la force qui représente la résistance de la courbe ou de la surface, on a

.— = X-f- N COSA, dt^

d^y dt

^=: Y + Ncosfx,

dt'

Z + N cos V ,

tgO COURS "bB lIÉGÀNtQUË.

A, jiA, V étant les angles que la normale suivant laquelle 1 force N est dirigée fait avec Jes axes. On tire de ces équa tions

dmi»^ = it (Xdx^Ydf -h Zdz)

2 N ( cos X ûfx -f»- cos fiflÇx -f- cos V «te ) ; .

mais puisque N est normale à la trajectoire, la dernië parenthèse est nulle. Cette équation de réduit donc l'équation (2). j

262. La quantité mi^* ou le produit de la masse d'i: mobile par le carré de sa vitesse est ce qu'on appelle force viue du mobile. On a dans tous les cas

(4) d-mu'z^Xdx-hYdx-i-Zdz,

X, Y, Z étant les composantes de la force tnotrîce.

Ai]T«iES FOii>iES BB ^dx-\-Ydy -yZd'z.

263. Soit (ù l'angle PMT que la force motrice P fait Fig, 90. avec la tangente* On a

X dx Y dr Zdz V djf ^P ds^ V ds

d'où Ton tire

(l) Xf/x-t- Yc^r + Zé/z^Pcostorfï

Si l'oû décotapose la force P en une force tangentielle 1 et une force normale Q, on a T = P cos w. Donc

(2) Hdœ -h Ydy 4- Zdz = Ids.

Enfin, si l'on appelle dp la projection MI de l'ai MH = ds sur la direction de la force motrice, on a

costo ds •=: dp^ et par suite

(3) X^.r -h Xdy 4- Zdz = Vdp,

VINGT ET UNIÈME LtÇON. Ipt

Ainsi Texpression Xdx -{- Y dy -h- 'Ldz est égale : i** au produit de la force motrice ]|^ multipliée par Télément de la trajectoire et par le cosinus de Tangle que cette force faitayee la tangente; a* au produit de Télémént de Tare multiplié par la force motrice estimée suivant la tangente; 3° au produit de cette force motrice multipliée par la projection de l'élément de Tare sur sa direction.