UNE SURFACE

!24. Nous avons supposé jusqu'à présent que le point A, à part l'action des forces P, P', P'', . . . , était parfaitement libre dans l'espace. Les conditions d'équilibre ne seraient plus les mêmes si le point était assujetti à demeurer sur une surface ou sur une courbe donnée.

Dans le premier cas, si le point A est sollicité par une force R normale à la surface considérée, il devra être en repos. Car il ne pourrait commencer à s'éloigner de sa position que sui-

DEUXIÈME LEÇON. l3

vaut la direction d^uue des tangentes à la surface au point A, et comme toutes les tangentes font un angle droit avec la direction AN de la force, il n'y a pas de ^ raison pour que le mouvement naisse dans un^eens plutôt que dans un autre ^ donc le point A restera en repos.

Au contraire, si le point A est sollicité par une force S, dont la direction ne soit pas normale à la surface, il ne restera pas en équilibre. En effet, on peut décomposer la force S en deux autres, Tune dirigée suivant la normale AN à la surface, Tautre suivant l'une des tangentes AT à cette surface, savoir celle qui est à Tintersection du plan tangent et du plan SAN. La première force ne fera que presser le point sur la surface; mais la seconde aura tout son effet, et dès lors le point A glissera sur la surface.

Ainsi> la condition nécessaire et suffisante pour qii un point A ^ placé sur une surface et sollicité par des forces (\iielconques P, P', P", . . . , reste en équilibre, est que ces forces aient une résultante R normale à la surface,

25. Pour exprimer cette condition par l'analyse, prenons trois axes rectangulaires quelconques Ox, Oy, Oz. Appelons a, P, y •, a\ (3', y'; . • • 5 l^s angles que font les forces P, P', P'', . . . avec les axes. Il y aura équilibre si nous introduisons une force N égale et directement opposée à R^ Donc si X. jul, v désignent les angles que la force N (dirigée suivant AI ou AI') fait avec les axes, nous aurons

V\rr 9-

( N cos> H- P cosa -h P' cosa' 4- . . . = o , cosfz + Pcosp -h P'cosp'4-. . .= o,

cosv -h p COS7 -h P' COS7' -h . . . = o. Ces trois équations peuvent être mises sous une forme

l4 COURS DE MÉCANIQUE

plus simple. Eu eiïct^ soil

réquatîon de la surface; on aura

(3) COS>=r±

Il faut laisser le double signe, parce que la force inconnue N peut tirer de A Tcrs I ou de A vers I'. Si Ton pose,

pour abréger,

on a

(4) cos> = V-r-> cosfx = V-T-j cosv = V -T" ^ ' dx dy dz

De plus, si X, Y, Z désignent les sommes algébriques

des forces P, P', P", . . . , estimées suivant les axesO.r, Oj^

Oz, on a

X = P cosa -4- P' cosa' H- .

Y = Pcosp -hP'cosp'4-.