PP' (ces a ces a' + 008^008^'-+- CCS 7 COS
Mais si l'on désigne par (P, P') Fangle que font entre elles les directions des forces P et P', on a
ces a ces a' 4- cosp cos^'-f- C0S7 ces 7' = cos (P, P').
Par conséquent, on a
^ ^ ^ • 2PP'C0S(P, P')-+. 2PP"C0S(P, P")-h...
formule où la grandeur de la résultante est exprimée en fonction des intensités des forces et des angles qu'elles font entre elles.
Si l'on considère R, P, P', . . . comme les côtés d'un polygone, celte équation donnera la valeur d'un côté en fonction des autres côtés et des angles que ces côtés font entre eux. 11 en résulte ce théorème : Le carré d'un côté fi* un polygone est égal à la somme des carrés des autres côtés ^ plus deux fois la somme des prvduits de ces der^
DEUXIÈME LEÇON. II
niers côtés pris deux à deux et. multipliés par le cosinus deVangle qu ils forment»
21 *. Au lieu de décomposer, comme nous venons de le faire, la force P en trois forces dirigées suivant les trois axes Ax, A j^, A 2, on peut la décomposer en deux forces agissant, Tune suivant Ax, et l'autre dans un plan zhy perpendiculaire à Ax. La composante suivant A.r est représentée en grandeur et en signe par Pcosa. Ou dit alors que P cos« représente la force P estimée suivront la direction Ax. Sous ce point de vue, les équations (i) donnent lieu au théorème suivant :
La résultante de plusieurs forces, estimée suiv^ant un axe quelconque, est égale à la somme de ces forces esti^ mées suiv^ant le même axe.
CONDITIONS d'équilibre DE PLUSIEURS FORCES CONCOU- RANTES.
22. Pour que plusieurs forces appliquées à un même point se fassent équilibre, il faut que leur résultante soit nulle. Or, en conservant les mêmes notations que dans la question précédente, on a
On devra donc avoir
X= o, Y = o, Z = o, c'est-à-dire
IP cosa -h P' cosa' -f- P" cosa" -f- . . . = o , P cosp 4- P' cosp'4- P" cosp''-h . . . = p, P C0S7 -h P' C0S7' -h P" COS7" 4- . . . = o,
et réciproquement, 5i ces conditions sont remplies , il y aura équilibre, puisque la résultante sera nulle.
23. Il est aisé de vérifier que, si ces conditions sont remplies, l'une quelconque des forces sera égale et opposée à la résultante de toutes les autres.
12 COURS DE MÉCAMQUE.
En effet, désignons par R' la résultante des forces P', P'', P"', . . . , et par a', i', c' les angles que cette résultante fait avec les axes^ nous aurons
IR' cos«' = P' ces a' 4- P" cosa" -4- . . . , R'cos*'= P' cosp'-+- P'^cosp" -+-... , R' ces c' = P' cosy'-H P'' COS7" -4- . . .
La comparaison de ces équations et des équations (1)
donne
iP cosa = — R' cosa', Pcosp = — R'cos^', P COS7 = — R' cosc';
d*où l'on tire, en élevant au carré et ajoutant membre à
membre,
P'==R'» ou P = R',
et, par suite,
cosa = — cos«', cosp = — cos^', cosy = — cosr', ou bien
d'où l'on conclut que la force P est bien égale et directement opposée à la résultante R' des forces P', P'^, V"^ ....
ÉQUILIBRE d'un POINT ASSUJETTI A SE MOUVOIR SUR
