CAS DUNE ORBITE GIIICULAIIIE OU PRESQUE CIRCULAIRE

321. La théorie indique que Tellipse peut se réduire i un cercle. Dans ce cas e = o, r=.a et le carré de la

?itesse v'^ ==: — devient constant. En mèuiç teriàps, la force

accélératrice

est aussi constante et égale à la force centripète -•

322. Quand le nombre e est très-petit, on peut déterminer approximativepient Tanomalie excentrique u, le rayon vecteur r et ranomalie vraie 0 — co, en fonction du temps t. De Téquation

nt= u — e sin «,

on dédui t

M = «^ -H e sin [nt -h ^sin «)

» = /îf -h ^sin (nt) cos (^sin u) -\- e sin (esin u) ces {nt},

[mintenant, comme e est supposé très-petit, convenons

iftne conserver, dans ce qui va suivre, aucun terme qui

contiendrait e à ub^ÉÉiissance supérieure à la première.

Alors on devra simplement prendre i pour cos (esin w),

esinix pour sin (esinw), et négliger e sin (e sin m). L'é-

çiation précédente devient

v) u = ni -^ esin [nt),

^ remplaçant u par cette valeur dans l'équation ''=a(i — ecosu) et négligeant, comme ci-dessus, les !• 16

a4d COURS DE MÉCANIQUE.

puissances de e supérieures à la première, ou obtient même

(2) r = a[i — eco%{nt)\

Enfin, pour avoir la relation entre 0 et f, on part Téquation r^dO = cdt. On a

et

r =: = fl ( I — e^) ; • y

i-i-^cos(0 — 0)) iH-rcos(0 — w)

c'est-à-dire

r = « (i — ^^) [i — ^cos (0 — w) -f- ^^cos'(0 — w) — . . .]

ou simplement

r=fl[i — ^cos(9 — w)],

en négligeant les puissances de e, supérieures à la pn

mière. On eh déduit au moyen de la même simplifier

tion

r'^dô = a^[\ — 2rcos(0 — w)]r/ô

et par suite, à cause de

r^dO = cdt = na"" sj \ ■— e^ dt^ on a

[l — 2tfC0S (ô — w)]rf0=:/?r/^,

d'où Ton lire, en int^^rant,

0 — w = /1/-I- aesin (0— w).

Enfin si Ton remplace sin (9 — eo) par

sin[/ir H- 7.esin(0 — w)] =:sin(/ir) ces [2 « sin (0 — w)]

CCS [nt) sin [2^ sin (0 — w)],

il vient, en développant et négligeant comme précéden

VIIfGT*CIKQUIÈMi: LEÇON. 24^

ment les lertnes qui coniiennent en factenr une puissance de e supérieure à la première,

0 — w = /If -I- 2^sin {nt).

Fig. 107.

Les équations (i), (2) et (3) sont celles auxquelles on

voulait parvenir.

323. Quand c = o, la formule (a) donne r= a et fait voir que la trajectoire est un cercle. En même temps, l'équation j(3) montre que Tangle 0 augmente proporiionnellenfent au temps; donc la vitesse est constante, comme ûii l'aurait déjà conclu d^autres formules. D'après cela, AMA' étant l'orbite d'un planète, décrivons du point O comme centre, avec un rayon arbitraire Oa, une lârconférence de cercle.

Imagifioiis maintenant qu'un mobile quelconque m se meuve sur ce^te circonférence avec une vitesse constante, de telle sorte ^ue ce mobile et la planète se trouvent au même in- *^nt en a et en A sur le grand axe de l'ellipse, et qu'ils accomplissent tous deux une révolution entière dans le ^e temps. La formule 0 — o) = «/-f- ae sin {nt) fait ^oirque, dans la première moitié du mouvement, c'est- Mu-e de A en A', le rayon vecteur OM précédera Om *^ que l'inverse aura lieu dans la seconde période du

^ïïouvement.