MOUYEMEOTT ABSOLU ET RELATIF DE DEUX GO&PS QUI

s' ATTIRENT,

329. Il résulte du principe de rattraciion ou gravitation universelle, que si M et m sont les masses respectives du soleil et' d'une planète, r la distance de leurs centres de gravité, et y le coefficient de l'attraction universelle,

est la mesure de Tattraction qu'un de ces deux

corps exerce sur Tautre. Par suite, abstraction faite de

toute autre cause, — et —^ sont respectivement le^

forces accélératrices de la planète et du soleil , et, comm^ elles sont en raison inverse des masses de ces deux corps on en conclut que, s^ils n'avaient aucune vitesse initial ils viendraient se réunir sur la droite qui joint leu centres au centre de gravité du système de ces deux corp lequel point partage cette droite en deux parties récipn quement proportionnelles à leurs masses. Pour le faL voir plus clairement, appelons S et 5 les espaces recti gnes parcourus par le soleil et par la planète, jusqu'à 1^ i point de rencontre. On aura :

„rf'S /Mm d's /Mm

d'où résulte

Par suite

M -j- = m -— dt* dO

,. f/S ds

dt dt

et enfin

MS = ms.

Il n'y a pas de constante à ajouter, car on suppose ^V

le soleil et la planète partent en même temps, sans vitesse îuuiale* De r^quation MS = ms^ on déduit

S l s z= m l My ce qui démontre la proposition énoncée.

330. Si l'on veut obtenir le mouvement relatif d'«ne planète autour du soleil, c'est-à-dire le mouvement apparent de cette planète pour un observateur placé à la sur* âce du soleil, il faudra supposer appliquée au centre de gravité du soleil une force égale et contraire à celle qui 'e fait mouvoir dans Tespace, afin de pouvoir le considérer comme fixe; maisv en même temps, afin de ne pas altérer le mouvement de la planète par rapport au soleil, ii faudra aussi regarder une force égale et parallèle à cette dernière conune appliquée au centre de gravité de la planète. Par conséquent, ce dernier point sera constamment sollicité par une force dirigée vers le centre du soleil^etégaleà

-.. X /(M + w) Il

^ appelant fi le coefficient y(M-f-m) constant pour toutes les positions de la planète. Ce fait est encore une conséquence du calcul, comme nous allons l'établir. Supposons les masses du soleil et de la planète con«

centrées à leurs centres de gravité, M (x, ,71,^1) et m (x^y^ z) ces deux points étant rapportés à trois axes rectangulaires quelconques, mais fixes dans l'espace. Le point M décrira dans son mouvement une certaine courbe A MB, le point m une courbe atrtl). Menons main tenant

252 COURS DE MÉCÂNIQDB.

par le point M, à Tinstant considéré, trois axes rectangulaires parallèles à Ox, Ojr et Oz et supposons que le point M , dans son mouYement, emporte ces axes parallèlement à eux-mêmes avec lui. Appelons |, 37 et ('les coordonnées variables du point M, par rapport à ces axes dont la position varie à chaque instant.

En concevant que le point M et par suite les axes qui passent par ce point soient fixes, ^, 77 et ^ se rapporteràol à la trajectoire apparente du point m. Or on a d'abdH

A l'aide de ces équations, si Ton connaît le mouvement . absolu de M et le mouvement relatif de m, on a le modr vement absolu de m, et vice versd, si l'on connaît leâ mouvements absolus de M et de m, on aura le mouvement relatif de m autour de M.

Afin de bien concevoir ce mouvement apparent de ' la planète, imaginons que d'un point fixe K de Tespaoe ^ on mène des droites K mi , Km'^ , . . . , égales et parallèles aux droites Mm, M' m', . . ., qui joignent les positions. simultanées successives des points M et m, sur te courbes que ces deux points décrivent. Il est clair que j ni\ , m'^ , . . . , seront les positions apparentes de ni) telles quW les observerait du point fixe M, si Mitait ' en K et que /Wj m\ sera la courbe apparente que décriw le point m. ^

331. Revenons maintenant aux équations (i) pour en déduire la vitesse de m sur la trajectoire apparente. En les différentiant, on a

1 de

dxi dt

dt'

dt

dn dt'

1 dz

dzi

de

dt'

Xamb^ ^5 ^ ei^ sont aussi les composantes paral-

Fig. no (*}.

e dr dz y, dxx dVi dzi , %,

-> -T et -p dune part, -r~> -~ et -r- de 1 autre, dt dt r ' ^^ ^^ ^^ 5

mt les composantes parallèles aux a:jtes des vitesses des oints M et m, à Tinstant considéré sur les courbes AM6

dê^ dt .^' dt

èles aux axes de la vitesse du point m sur la trajecoiiie apparente. Donc cette dernière vitesse pourra être léterminée par ses composantes, au moyen des équaiiE^tts (2) , lorsque les mouvements absolus des points M )i m seront connus. On peut aussi Tobtenir par la contraction suivante.

Soient MA et mB des droites, représentant en gran^

deur et en direction les vitesses absolues des points M et m à l'instant en question. Menons^ la droite mC, égale et parallèle à MA, mais dirigée en sens con<* traire. Je dis que la diagonale mD du parallélogramme mBDC représentera la vitesse apparente en grandeur et en direcion. En effet, projetons les trois points m,D, B en m', rf' ît;i' sur Taxe Ox, La projection m' ^' de mD est égale à ^ somme algébrique des projections des deux autres cô-^ ^ en supposant qu'on parcoure le triangle mBD dans le eus wBD, et regardant comme positives les projections liant de O vers x et comme négatives ceHes qui vont, ans le sens opposé. Or

de dt

ont

, djc d;JCi d^

dt dt dt

*) C'est par erreur que dans cette figure on a tracé MA parallèle à ^ des X, On doit regarder MA comme pouvant faire un angle quel-* ^^e avec cet axe.

a 54 COURS DE MÉCÀ»IQUE. *

Il suit de là que, sur un axe quelconque, mD a même projection que la vitesse apparente : doue mD représente ^îette vitesse en grandeur et en direction.

En diffërentiant les équations (2) par rapport à /, on a

dt^ df df

dt" de de

de de dt

A Taide de ces équations, on démontre comme pr^- j

demment que si les forces accélératrices des points M et

m sont. représentées en grandeur et en direction par MA

et par mB, et si Ton mène mC égale et parallèle à MA)

mais dirigée en sens contraire, la force accélératrice,

répondant au mouvement apparent, et qui a pour coxi^'

d^l dU d^^ , , , ^.

posantes -yy 5 — - ? -^ t sera représentée, en grandeur ^^

en direction, par la diagonale mD du parallélogrami^^ mBDC.

Réciproquement, si on connaissait le mouvem^^^ absolu du point M et le mouvement apparent de 7/2, ^^ verrait aisément que la droite m F étant égale et parall^^® à MA, la diagonale mB du parallélogramme mFBD tr^ présenterait en grandeur et en direction la vitesse ou ^^ force accélératrice du mouvement absolu du point m,

332» Le centre de gravité du soleil et celui d'une pi ^ nète sont sollicités par des forces motrices appliqué^ en sens contraires, suivant la droite qui unit ces de

points, et égales chacune à — ^ ? en appelant, comme pr

cédemment, M et m les masses du soleil et de la planèt

Donc -T- et — — seront leurs forces accélératrices, et

VINGT-SIXÏÈME LEÇON. ^55

GR^ résulte de la construction géométrique («ISi) que

sera, à chaque instant, la force accélératrice qui produirait le mouvement apparent de la planète autour du soleil supposé fixe. On voit que celte force

«H posant

/(M-h/ii) = fx,

varie en raison inverse du carré de la distance. Par conséquent, la trajectoire apparente de la planète est une section conique et par suite une ellipse, puisqu'elle ne s' éloigne jamais indéfiniment du soleil.