ÉQUILIBRE DVN FIL FLEXIBLE
Direciion de U tension dans un fil en équilibre. — Équations de V libre d'un fil sollicité par de petites forces. — Intégration de ces éq tions. — Valeur de la tension en chaque point du fil. — Forme afiei^ ^ par le fil-
DIRBCTIOH DB I.A TENSIOH DAHS G2f PII. EH ÉQUlJLDlb^
403. Soit AMB un fil flexible, d'une irès-pedie ép-s Pjg jjg setiT, attaché par ses extrénu
• g à deux points fixes A et B^ dont tous les points sont soJ s;;T cités par de très-petites force Soit M un point quelconq^ de ce fil. Les deux parties Ai 'MB exercent Tune sur l'autre, dans Tétat d^équilib des actions moléculaires égales et contraires. On connait pas la nature de ces actions, mais on admet ' toutes celles <jui proviennent de AM agissant sur J se réduisent à une force unique T appliquée au poio et de même que la partie MB exerce sur AM une a qui se réduit à une ibire %ale et contraire à T. L leur commune de ces deux forces est ce qu^on appe tension dujil au point M. On pourra donc, si 7 lihre existe, supprimer la partie AM, pourvu qu^* plique au point M une force égale à T.
4(X1. Eu considérant le fil comme la limite d r gooe funiculaire dont les côtés deviennent in petits, on est conduit à admettre que la tension Sitit'ant la tangente an pt^inf M à la rt^urhr qt
TREIiTE ET UNIEME LEÇON. Sp
^fih Mais on peut démontrer directement ce principe delà manière suivante :
Fixons un point M', voisin de M^ sur le fil et solidifions la partie intermédiaire MM' 5 l'équilibre ne sera pas troublé. Mais alors, d'après les conditions d'équilibre d'im système dans lequel se trouve un poini fixe, les couples qui résultent de la translation au point M' de la "Orce T et des forces qui agissent sur tous les points ma- .^els du fil compris entre M et M', doivent se détruire, -^omme ces forces ne sont pas nécessairement dans un néme plan, le moment du couple (T, — T) est moindre [ue la somme des moments des couples provenant de ^ translation des autres forces ou au plus égal à cette omme.
Si l'on abaisse la perpendiculaire M' H sur la direcioade la force T, et si Von désigne par ô Tangle M'MH, e moment du couple (T, — T) est
T XM'e = T X MM' sin Ô.
ioîçnt /Jt la masse 4'un point compris entre M et M' et P ^ force appliquée à ce point, rapportée à Tunité de ■ï^asse^ fxP sera la force motrice appliquée à ce point. Le Qiomentdu couple (/xP, — /ixP) est plus petit que ftP./ixM' età/o/tionquefxP.MM'. $
La somme des moments de tous les couples analogues e$t donc moindre que MM'. PjSfJi, Pj désignant la plus grande valeur de la force P dans toute la portion MM' «û fil et Sfx la somme des masses des molécules qui composent cette portion du fil.
On a donc
Ï.Mi\r.sinô<P,.MM'.2p,
doù
p, L^ tension T a une valeur finie, car elle doit faire
Rç- .37.
40 CO'L'BS DE MtCAKIQUS.
équilibre aux forces qui sollicitent la partie BM. Con l'in^alilé précédente a lieu qodqae petit que - Tare HM', on Toit que si le point M' se rapprodie ii fininient du point M, sin 6 et par conséquent 0 deTien plus petit que toute quantité donnée. Mais à la limit corde ftlM' devient la tangente en M à la courbe ; d c'est siÛ¥ant la tangente qu'agit la tension T.
ÉQUILIBAB d'oH fil SOIXlCITé FAE DE FETITES FOIC
gé 405. Cherchons n|ain tenant les conditions d*éqoil d^iui fil AMB, fixé à ses deux extrémités A (a, bjC B(ii', V, tf) et dont tous les points sont sollicités par de
tîtes forces. Soient M (x,j et yV (x-hdx^j-ï-dy, z-kdeux points infiniment i proches sur le fil.
MM'=di. Si T et T^ les tensions du fil aux po M et M', l'arc MM' doit < en équilibre sous Faction T, de T' et des forces sollicitent les points com entre M et M'. Cet équilibre a encore lieu, si Ton s pose Tare MM' solidifié. Donc les forces doirent telles, qu'en les transportant parallèlement à elles-mê en un point elles se fassent équilibre.
406. Soient £ le produit de la section normale p^ densité au point M, P la force qui agit en ce pc et ILy Y, Z ses composantes parallèles à trois Ox, Ojr, Oz. L'arc MM' étant infiniment petit, on considérer e, X, Y, Z comme constants pour tooi points de MM'. Or T agissant dans le sens M 'M composantes seront
us (»s a
TREUTE et UNIEME LEÇON. 4^
Les composantes de T' seront égales à celles de T, prises en sens contraire et augmentées de leurs diilé^
remielles ,
D ailleurs en considérant MM' comme un petit cylindre,
Xcr/5y Yedsj Ztdsy
sont les sommes des composantes des forces qui agissent sur les points de l'arc MM'. On a donc «1
(i) I ^(T^)-h Y if/s = 0,
-f Ztds = o.
Dans la question qui nous occupe il n'y a qu'une seule variable indépendante; supposons que ce soit x. Les Rations (i) serviront à déterminer j", z^ et Finconnue ^ïixiliaire T en fonction de x. Ces équations sont nécessaires et suffisantes ) et nous allons vérifier, après leur Intégration, que si elles ont lieu, toutes les forces qui agissent sur le fil, en y comprenant les tensions K et K', ^^x extrémités A et B de ce fil, satisfont aux six équa- ^^ons générales de l'équilibre.
INTÉORATION DES ÉQUATIONS (l),
407. Intégrons d'abord la première des équations (i) P^i* rapport à 5, entre les limites qui correspondtbit aux ^^trémités du fil, dont la longueur est /, on aura
Soient r, y, g-^ ^'ij% g' les angles que les tangentes à
^ GOCBS DE MiCAJilQCE.
œ» estiâûtrs^ car Irquilibre claiit fappair oôster, la xéstttuKr de la surfaor en ««s dilKiqrts pooli èjoi- Tsnt à de peliies forces oormales k cette sorCKe, et pu cYnsêqnent aa fil. La tension da fil doit donc ètieUmème en tons ics points, et par conséqpiait les ibreesqûle tirent à ses cxtremilés doivent être ésales entie dlcs et à cette tenûon. En ontre. le plan oscnlatenr du fil est en diaqne point normal à la surface fixe, d'où il résulte que cr fil trace smr la smrfaee la Cgne la pims eamrte entn demx ^melcoajçuts de ses points.
414. Pour avoir la courbe formée par le fil. il faut tmioer T entie les êcpulions 1 1 >. On peut à cet effet commencer par inlêcrer ces êi|iiations. ce qui doni*^
-T-=C^fZ.^,
d\^à Ton déduit
iùr
^ ^^irlf B ~ I T
£ etf
C— \Zidf
415, Mais *i Ton lenl arriver à des» équations ^f^^ nitnt diflenrotieDes. cin cxHunenorra par âiminei' entre les ei|naûi>ns u i mises sovs cette forvae :
Té —
. âz
T ïlfr =: O.
^Zidt =
treute et unième leçon. 4?
obtient ainsi
1 lis \ds ds dt ds I
"Xdz — Zdr 1 dz dx dx dz\
ds \ds ds ds d^ ) '^
dzd dxd -—
ds dx
d'ailleurs
£/T = — g [ILdx -f. Ydy -f- Zdz):
1 substituera dans cette équation la valeur de T d^une des équations [à) y et Ton aura une équation înant les différentielles de y considérée comme foncde^ jusqu'au troisième ordre et celles d&z jusqu*au ième. L'équation [b) ne les contient qu'au deuicième ment. L'intégration de ces équations introduira donc constantes arbitraires, que l'on déterminera en exant que la courbe passe par deux points donnes vi le a une longueur donnée.
48 GOVRS lA MÉCASIQCB^
CHADTETTC. — OOUmBB DES POTTS STSPC^nyrS.
Eqvatîon diferentidle de U duiaette. — Eq«atioB de la ^atnelliP' « le me* ioi». — - Proprietcs de la Rainette. — DeCer^natioD de la L^usâoB en mm pout q^ekonqne de la diainette. — Rcman|«e smr le cckx tre de (raTÎté de cette courbe. — Coarbe Jcs ponts saaspendas. — Val* de la tension. — Antie méthode. — Construction de la courbe.
ÉQUATION DIFFéHOTIELLK DE LA CHAniETTE.
