On tire de l'équârai
y'-^-di? di-' '
ajoutant et retranchant soccessÎTement ces éqnadons ï de Tantre, on a
dx a
/.g=i(J.rl).
Ces deux écpations s'intègrent immédiatement. La donne
^=î(J*rO.
et la seconde, en remplaçant le radical %/
tfr* A
*=?C^-rî)
n nV a pas de constante à ajouter dans ces deux inté^ craies, si Ton pnend pour origine sur la Toticale qvi passe par le point B« un point tel <{ue OB = A, et si en outre on conrient de compter les arcs à partir du point B.
paoraiérts de la cBJLurrms.
•Cl. D'après son êcpation
la dttinette est srmetrique par rapport a Taxe des /•
TaEMTE-DEUXIÈME LEÇON. Si
En comparant les équations difTérentielIes avec celles qui résultent de leur intégration, on trouve
dx
ax
d'où
En voici l'interprétation géométrique :
I^a première signifie qu'en chaque point M <le la chai*
nette, la projection MK de Tordonnée de la courbe sur la normale MN est constante et égale à A. En effet,
MK = ^co»PMK =
L'équation (3) exprime que la projection MI de l'or- ^<>ûiiée sur la tangente MT est égale à Tare BM, compté a P^ï'tîr du point le plus bas de la courbe. En effet
MI = IP tang T
(Ix*
dy
«nais ^=--. donc
dx h (5) MI = s.
^ Enfin Féquation (4)9 conséquence des deux autres, '^Siiifie que la longueur désignée par A, Tare MB et l'or* ^^'ï^tiée y forment un triangle rectangle dont l'ordonnée ^^^ l'hypoténuse.
'^•22. On peut obtenir les formules précédentes d'une ^^Hière un peu différente. Reprenons l'équation (418)
(S) ds=.hd±.
dx
*^n« donne d'abord l'équation (3). En y remplaçant ds
3a COURS DE MÉCANIQUE.
i-+-3^î on a
par dx i/
,^'^y^-hd'^^ '+5?-*''^'
d*où
dx dx i 5v*
d*on, en intégrant,
(8) y = hsj
df ,ds
On verra comme précédemment qu'il n'y a pas de c^oostantes à ajouter à ces valeurs.
423. La courbe, lieu des points I tels que MI =r arc SAf, est une deyeloppante de la chaînette. La droite IP esi tangente à cette courbe au point I, et la longueur EPde cette tangente comprise entre le point I et Taxe des jc est constante et égale à A. «
424. Le rayon de courbure de la chaînette est égala la normale MX, mais dirigé en sens contraire. En efièt, Téquation
dx%/i^^ = hd^ dx' dx
donne
fPjr
djr'~ k '
donc, si j» désigne le rayon de courbure, on a
rfr»\
dw-=^{:'^d^)
Jx
l'équation
• + Ar.
enfin
^ da:^ h'
MN
p = MN.
eurs ce rayon de courbure est en sens inverse de 'maie MN : en effet, on sait qu'il est toujours dans icavité de la courbe; mais celle-ci tourne sa coni vers Taxe des x, puisque son équation étant
hd-^j et 5 croissant en même temps que Xy la déseconde —^ est toujours positive.
E LA TENSION E^ UN POINT P£ |.A CHaInETTE.
\. On a vu (418) que T!=zxsh — ] donc, puisque
ds
-T-j on a
ax
T = vff.
isi la tension de la chaînette en chaque point est >rtionnelle à V ordonnée de ce point. Au point le )as, pour lequel j^ = A, on trouve T = uA, comme ?aît s'y attendre.
L On peut encore obtenir la tension au. moyen de mule générale
54 * COlftS DB MÊCABIQrE.
Ici on a
X = Oy Z = o, eT = o;
donc d'oè
On n*ajoute pas de constante, parce que Ion doit T = uh pour jr = A.
GOJiSTmucnoK de ut chautette.
427. Menons (fig* iSp, p. 5i) la verticale CE horizontales A£ et CG qui rencontrent Taxe des j et G. Posons
AE = «, CE = è, ABC=:/; AD = it, DE=iC', OB=:A, BD=/.
a el A sont connues, et il s'a^t de déterminer Ar, et/.
On a d'abord une première relation en exprimai la somme des arcs BA et BC est égale à /. Or de
on tire
BA
par conséquent
On a une autre équation en calculant les ordonné points A et C et égalant leur différence à b :
(2) ^=^\^Ve ^-.''-.r*
TRJUNTE-DEUXIÈME LEÇON. ^ 53^
On peut remplacer ces deux équations par les deux suivantes :
qui, multipliées membre à membre et observant que
d'où
ou
(^) v^Firp =*(*>*-« »*)
