ÉQUILIBRE DES FORCES PARALLELES

47; La condition nécessaire et suffisante pour que plusieurs forces parallèles P, P', P^', ... se fassent équilibre, est que l'une d'elles, P parexem-^ pie, soit égale et directement opposée à la rëôultante R^ de toutes les autres. Pour exprimer cette condition par l'analyse, prenons trois axes, dont l'un OZ soit parallèle à la direction des forces.

La force P et la force R' se faisant équilibre, on doit avoir

R'=— P ou P-hR'=o;

mais

Donc une première condition d'équilibre es3t que l'on ait

Il faut, en outre, que les directions des forces P et R' coïncident^ par conséquent, que Vx et \y de leurs points d'application soient les mêmes. Or si a et j3 sont les coordonnées du point K, où est appliquée la force R\ on doit avoir (43)

R'ûé = P'y4-P''a7" + .. .,

. ■ R'p = F/ + PV-^

Mais puisque a = :r, (5 = y, R' = — P, il en résulte

TROISIÈME LËÇOlf. 2J

ces deux nouvelles équations d^éqùilibre

(2J Px -f.P'x'+P"^'' -+-... t=o,

(3) P^4-P'/-+- PV -+-... = o.^

48. Réciproquemeat, si les conditrions (i), (2) et (3) sont remplies, la. force P sera égale et directement opposée à la résultante R' des autres forces, et il y aura équilibre.

g, 49. Ainsi les conditions nécessaires et 'suffisantes pour qu'il y ait équilibre sont données par les trois équations

IP 4- P' 4-P" H-...= o, .P.r-f-P'A'-+-P''x"H =0, P74-P'y+PVH^-.= o.

. On les énonce ordinairement en disant que la somme algébrique des forces doit être nulle, et que la somme algébrique des moments des forces, par rapport à deux plans parallèles à leur direction, doit être nulle pour chacun de ces deux plans,

SO. Quand le système renferme un point fixe O, les forces proposées ne peuvent pas, dans le cas de Téquilibre, se réduire à un couple. En effet, si 1 équilibre existe, le point O éprouve une certaine prçssion,. déterminée de grandeur, de direction et de sens. Par conséquent, si I on remplaçait la fixité du point O par une force L égale et directement opposée à cette pression, il devrait y avoir encore équilibre; donc un couple et urie force unique se détruiraient, ce qui est absurde.

Il résulte de là que, dans le cas d'un point fixe, les forces doivent avoir une résultante unique,. dont la direction passe par le point fixe, sans quoi cette force et la force L ne pourraient se faire équilibre. Celte condition est d'ailleurs suffisante.

Or si l'on prend le point fixe pour origine et Taxe des

28 COURS DE MÉCÂIiIl4^UE.

z parallèle à la direction des forces, la résultante des forces devant être dirigée suivant cet axe, ses momeuls, par rapport aux plans zOx et^O/, devront être nuls, et par conséquent on aura

'^^ I Pj4-PyH-PV4-...= o.

Dans ce cas les conditions d'équilibre se réduisent à deux.

Si le point fixe était le centre des forces parallèles, ces conditions seraient remplies d'elles-mêmes. Par conséquent, V équilibre existe dans un système de forces parallèles quand on fixe le centre de ces forces, ce qui est d'ailleurs évident.

QUATRIÈMK LEÇON^ 2g