FIN DE LA STATIQUE
94 COURS D^ MÉCAISIQUÉ.
DYNAMIQUE
. DEUXIÈME partie;
PRINCIPE DE DALEMBBKT.
Démonstration du principe de d'Alembert. — Remarques sur ce princi -»z)< — Équation générale du Vnouvement d'un système. — Conséquences d cette équation.
DÉMONSTRATIQN DU PBINCIPE DE d'alEMBSRT.
483. Le mouvement d'un système de points assujettis à des conditions quelconques et soumis à des forces qaefconques se détermine au moyen 'd'un principe très-général que rpn doit à d'Âleinbert. Mais avant de le démontrer, nous allons rappeler la définition générale de l'équilibre.
On dit que des forces appliquées à un point ou à un • système de points se font équilibre, quand Tétat de celui- ' ci n'est nullement cliangé par leur suppression. Cette définition ne suppose pas le système en repos. II peut être en mouvement, et alors on dit que les forces se font équilibre quand, en \es ôtant, on ne modifie pas le mouvement du système.
• 484. Considérons un système de point<s en mouîCmeni M, ]Vl', M\ . . . ^ soient w, m', m", . . . leurs masses et P, P', P", . . . les forces qui les sollicitent. Ce;? point* sont assujettis à certaines conditions, ordinairemeut exprimées par des équations entre leurs coordonnées.
Fig. 162.
TRRMTE-SIXIÈME LEÇON. ^5
rons en particulier un de ies points, par e:stpni>
pie le point M qui est sot- Hcitq par la force P. Le mouvement de ce/pdint n'est pas le même que s*'il était libre. Soit Q la force qu'il faudrait lui appliquer, sMl était libre, pour lui donner le mouvement qu'il a réellement. Les composantes de la force Q parallèles
dt^
Ponctions du temps connues ou inconnues, minées. Soient de même Q', Q", . . . les forces rait appliquer aux points M', M",..., s'ils res, pour leur conserver le mouvement . qu'ils e système. On voit que si l'on substitue les Q'^ Q", . . . aux forces P, P', 9!', . . . , tous les . îndront l,e même mouvement qu'auparavant, 3S mêmes conditions analytiques cessent d'être 3ar, puisque leur mouvement est le même dans as, les équations de conditions seront encore Ainsi, au système des points assujettis aux données et sollicités par les forces. P, P', P'^, ... ; substituer le système des points assujettis aux nditions et sollicités par les forces Q^*Ç^\
îla posé, le système étant sollicité par les forces
. . ., on ne moîitiera point son mouvement, si
|ue respectivement aux points M, M',,M", . . .
égales et directement apposées Q, — -Q,
... , qui se font équilibre deux à deux. On
96 COtllS DE MÉCANIÇVB,
vieni de voir que, sahs qu'on aï ta changer le$ liaisons du système, les forces Q, Q\ Q^', . . . produisent Icmouvemeiu effectif. Doncles forces P,P\P", . . ., —Q^—Q'^Qf^.^ sel^Di équilibre, puisque le mouvement n^est pas chau^ par leur suppression. On arrive donc ainsi au pi*inci^ qui porte le nom de d^Alembert». savoir que les forc^^ motrices d'un système J ont à chaque instant équilibrer des forces égales et contraires aux forces qui prod^^j. raient son mouvement effectifs si tous ses points det^enoient libres.
KEM VECUES SWH LE PRl^ClPE DE d\\LEMBERT. •
486. Oi> peut présenter le principe de d' Alemberl sons une autix:^ forme, utile dan»quelques cas* Décomposous la
force P appliquée au point M en deux, doiA Fune soit la force désignée par Q , et l'autre une force que nous appellerons It< Nommons de même Q', R', Q'»
R'', ... les composantes analogues des autres forces P', Vy On peut remplacer lés forces P, P', P', — par les fore
Q» R, Q', R* Mais alors on voit que les fon
R, R', R', doivent se faire équilibre, puisque
composantes Q, Q', Q'', . . . donnenjt le même ma ment que les forces P, P', P"', .... Ces forces sont Tes forces perdues. Quant aux composantes Q, Q',C im pourrait les appeler ^brce5 effectives, puisqu'ell sur le système le même efl'et que les forces 'w P, P', P% .... On peut donc dire qu'à chaque ins forces perdues se font équilibre.
Cet énoncé revient au précéilent; car chaque est la résultante des forces P et — Q. Dire que R se font équilibre, rt^vîem donc à dire que leu santés P, — Q, P'. — Q', ... se font ét|uilibn
TREMTE-SIXIÈMB LEÇON. 97
^7. U est bon d'observer qu'on pourrait remplacer
d^Qoe infinité de manières les forces données par d'autres
susceptibles d'imprimer le même mouvement au système,
non plus libre, mais assujetti aux conditions données.
En eflTet, supposons que des forces R, R', R'', . . • se
fassent équilibre. On pourra décomposer cbaque force P
en deux forces R et Q. Comme les forces R se détruisent,
il ne restera que les forces Q qui produiront le même
mouvement que les forces P. Il en résulte que le système
P, P', P'', . . . et celui des forces Q, — Q', — Q^,. . .,
égales et opposées aux forces Q définies en dernier lieu, se
font équilibre. Mais cette conséquence est peu utile dans
les applications, parce qu^on n'a pas l'expression ana •
lyiîque des nouvelles forces.
ÉQUATION GÉNÉRALE DU MOUVEMENT d'uN SYSTÈME.
488. En vertu du principe de d'Alembert, toutes les gestions de mouvement se trouventramenéesàdes ques- ^ons d'équilibre. Voici comment on s'en servira pour obtenir les équations du mouvement d'un système dans lequel les points sont assujettis n certaines conditions.
Soient
^ équations de condition, exprimant les liaisons du système. Ces équations contiendront en général, outre les Coordonnées des différents points, le temps f , de sorte que 1^ conditions peuvent varier avec le temps.
SoitP la force appliquée au point M, dont la masse est ^' Nommons X, Y, Z ses composantes parallèles à trois *xes rectangulaires^ celles de la force que nous avons appelée — Q sont égales à
dl^ di' dt^
yS COURS DE MÉCANIQUE.
Les deux forces P ei — Q peuvent donc être remplacée! par trois forces parallèles aux axes et qui ont pour ex pression
dt^
Y „, '^^ do
— m — — dO
On aura des expressions analogues pour les autres points M', M'^ .... Comme les forces P, — Q, P', — Q', . .., se font équilibre, il faut que la somme de leurs moments virtuels soit nulle, c'est-à-dire que Ton ait
(x-„if),,.(Y„:g)...(z-»^)..
-h (X'— w'—^ )^jr'-f- ... =o, ou, par'iîne notation plus abrégée.
Cette équation est vérifiée à chaque instant. Ainsi à uii^ époque quelconque le premier membre est nul, en ayan ^ égard aux équations (i), et àx^ ày^ dz^ dx^j àj'^-^ -^ représentant les variations qui résultent de ces équa ^^ tions pour les coordonnées des divers points du systèmes ^ Il ne faut pas confondre ces variations, qui sont les pro jections sur les axes des déplacements virtuels des poinl du système, avec les difierenti elles dx^ dy^ dz^ dx\ . • ^ qui sont les accroissements infiniment petits des coo^^^
TIlBMT|£-«iXlÈMB LEÇOV. 99
les dans le mouvemeot efieclif et pendam Vintèrvalle ftp» dt.
CÛVSÉQUBIÎCES DE l'ÉQUÀTIOH oéMÉRALE.
L Voyons maintenant comment nu moyen de la re-
itiendra, dans chaque vas, les équations du meuve*- . Les condhions
U être satisfaites par le système dans sa position acî et dans celle qui correspond à un déplacement onque, il faudra difTérentier les équations (a) par )rt à X, Y^ ZyX\. . .y sans faire varier le temps. On ainsi entre les variations <îx, dy^ dz^ dx\» . . , les ations suivantes :
dh ^ dh ^ dh . dL . , dx dy dz dx
dx dy dz dx
dx dy dz dx'
)st le nombre des points, du système, il y amra.donc 'i vf^riq;iions arbitraires et / var^tions fonctions 4^ i-|à déterminées par les /équations précédentes. On ra les valeurs de ces i variations dans TéqUatiou (i)^ liant à o les coefficients des3:9 — ^ vari^Aions res* s,, on aura 3/i — i équations diffîrentielles entre It
lOO COURS DE MÉCANIQUE.
temps, les forces et les coordonnées des points du système En y joignant les i relations (a), on aura in équatio: pour déterminer les 3 n variables x, y, Zy x\y'^ js', . . . en fonction du temps t. Il restera à intégrer ces équatio pour connaître la position de chaque point du systèncri^e k une époque quelconque du mouvement.
490. On peut, comme on Fa fait dans une autre occ^ ^. sion (480), employer la méthode des multiplicateurs. ^Sn multipliant les équations (3) par des coefficients indét^^rminés %, jix, v, . • .^ les ajoutant avec Téquation (i), p^vjîs égalant à o les coefScients des in variations, on a les 3/1 équations suivantes :
d'x dt'
dx
dM
^ dx
dx
dy
dh
dx
dM
d'z dt^
dh dz
dU
^ dz
dz
,iPx^ dV
dh
dx'
dM ^ dx'
'dx'
L'élimination des i indéterminées A, fx, v, . . . entre ces équations donnera 3n — i équations : en y joignant I^^ /équations (a), on aura 3 n équations pour détermine^ les valeurs des 3 n coordonnées x, j", z^ x\ ... en fonc^ tion du temps.
491 . Les facteurs A, fx, v, . . . représentent les forcée perdues et font connaître les tensions et pressions qu ^ s'exercent dans les liens physiques du système. Pour 1*^ bien comprendre, décomposons, comme nous l'avons fai ^^ plus haut (486), la force P dans les deux forces — Q et B -^ et opérons la même décomposition pour les forces P', F'', • • ^ On sait que ti l'on supprime les forces R, R', H'^,..* ^ chaque point conservera encore son mouvement. On sai*^ -^
TRBMTB- SIXIÈME LEÇOH. IOI
le plus, que sous l'action des forces Q, Q', Q"^ . • . chaque point aurait encore le même mouvement, quand bien Qième il deviendrait entièrement libre ^ de sorte que les points assujettis aux liaisons données se meuvent alors tans exercer aucune action les uns sur les autres, et par conséquent les liens physiques du système n'éprouvent ni lensions ni pressions lorsqu'on a supprimé les compo- Motes R, R^, ....
Si Ton rétablit ces^composantes, elles se font équilibre k Paide des liaisons du système, et le mouvement demeure le même. On voit donc que ces dernières forces produisent seules les tensions et pressions dans les liens du système. Par conséquent, lorsqu'on connaîtra R, R', R'^ . • . , on pourra déterminer les actions que les liaisons produisent sur les points du système, et par suite les tensions et pressions que les liens éprouvent, comme on l'a vu, dans un système de points assujettis à des conditions quelconques et soumis à des forces données qui se font équilibre.
482. On a d'ailleurs les expressions des forces perdues *^) H', R'^,. ... 1 «es composantes de R, parallèles aux axes, sont
Y — m —pr 9 dt^
Celles de R' sont
dt^
Zi t
de
Io4 COURS DE MÉCANIQUE.
initiale étant nulle.
mu = I Vde.
Au delà du temps 3, la force P cesse d'agir, et par c( quent le mobile conserve sa vitesse acquise u. Mais i la quantité de mouvement muy possédée par le corj
égale à 1 Vdt, peut avoir et aura une valeur (
pourvu que Tintensité de la force P soit très-grande dant la durée très -petite de 0.
•494. Quand la direction de la force P est var: pendant le temps 0, on a les trois équations
X, Y, Z étant les composantes de la force motrice à cli instant. On aura au bout du temps 0 :
dx C^ .
^^ Jo
m^= f Ydt, d^ Jo
Si Ton assimile la quantité de mouvement mu à une
djt
. . dx
dirigée suivant la tangente à la trajectoire, 'w — > "
m -7- seront les composantes de cette force fictive.
pourquoi on les ^pelle les composantes de la qua dç mouvement. Les équations précédentes donnen expressions de ces composantes en fonction des cor santés de la percussion.
TREMZE-SEPTlkME LEÇON. loS
EXTENSION ET APPLICATIONS DU PEINCIPE DE o'ALBIIBERT.
>^es forées instantaiiées ou percussions. — Eziension du principe de ^'Alembert aux forces instantanées. — Manière d'appliquer ce prin-
«ipo. —. WctsiYemont de deux, points matériels unis par un fll et reposant Hur deux plans inclinés. — Autre manière de traiter ce problème. — ^a» où il y a des percussions.
DES FOf^CES IM^TAMTAMÉES.
