PROPRIÉTÉS DU CENTRE DE GRAVITÉ

S8. Soient k(x,y,z), h'{x',y,z%k"[x",j",z"),..., Fig. Qo. ^e$ centres de grav^ité de plu-

sieurs corps dont les poids sont respectivement p, p', p'', . . . , et O le centre de gratuité du système de ces poids; posons O A = /•, 0A'= r', 0M'= r\ ... :

si Von applique suivant OA^ OA', OA'', . . . des forces pr, p'r', p''r'', . . . , ces forces se feront équilibre.

En effet, menons par le point O trois axes rectangulaires. Puisque le plan zOy passe par le centre de gravité^ on aura (57)

(i) px-^p^ x' -{-p" x" -^ , . . = ô.

Or on a

/ CCS a', .r" =r r" cosa", . . .

X = rcosa, X :

a, a', a'', . . . étant les angles queOA, OxV, OA'', . . . font avec l'axe des jr; donc

(2) pr CCS OL-^ p' / cos a' •+• p'^ /•" CCS a'' 4- . . . = o .

Mais /prcosa, p'r'cosa'^ p" r" qosol"^. . ^ sont les composantes des forces pr, p'/', . . . estimées suivant l'axe Ox, Donc, comme la somme algébrique de ces composantes est nulle, quelle que soit la direction de cet axe, les forces pr^ p' r' ^ . . . , appliquées suivant OA, OA', . . . , se font équilibre (22).

59. On conclut de là que si les poids appliqués en A, A', A'^, . . . sont égaux y des forces appliquées au point O et représentées par les droites OA , OA', OA'', . . . se font équilibre.

60. Réciproquement, 5/ des forces appliquées en un même point O, et représentées, en grandeur et en direc-

tion, par OA = r, 0A'= r', 0A"= r", . . . , se font équilibre, des corps ayant tous des poids égaux à^^ et leurs centres de gravité aux points A, A', A", . . . , Jormeront un système dont le centre de grauité sera au point 0.

En effet, puisque les forces se font équilibre, on a

(i) /-cosa -H r' cosa'-h 7^'cosa''-l-. . .= o;

par suite

(2) ^ /^rcosa-f-/?/ cosa'-h/jr^cosa"-!-. . =0,

ou bien

/?jr -h /?a:' H- ^r" -f- . • . = 0.

Mais si P désigne le poids du système, et x^^jx^ z^ les coordonnées du centre de gravité, le premier membre de la dernière équation est égal kVxx* Donc

On démontrerait de même que Ton a

(4) Xx = o, 2. = o;

donc le point O est le centre de gravité du système.

61 . Soient A {x,y, z) , A' {x',y', z') , A" (x", j", z'%... p. j les centres de gravité de divers

^idsp,p\p^^^..,^etG(xx^i^Zx) A\ le centre de gravité du système,

^* •^' les axes étant menés par un point

.4". quelconque. Posons

* OA = r, 0A'= /,

^ 0A''=^'^,.., OG = r,.

On a, comme nous l'avons Vu (S6),

(l) i ^y^^py^p'y'^p"y" ^

34 COmS DE XécA!flQrE.

EleTanl ces trois équations au carré cl ajoutant, on a

Or on a

= H -f- r" — 2 {xjr' -h 7'v' -hzz');

donc

et de même

2 (xx'^ -H j/' -¥- zz") = r-^ -f. /^> — AA" ,

et ainsi de suite.

Donc

OU bien

P»r; = (^r» -h />V^ -H /?'^/^> -+....) (i» -H /?'-+- A>" -f- ... ) — pp' AT''— />;>"ÂA^'— ... — />>" A'A" — . . . ,

OU, à cause de P = p-+-p' -+-/?"-+-. - .,

/ P»r; = P (pH -+-/>'/»-+-/>'' /^^ H-...) I -pp'kh! ^pp^AA'' — ....

Cette formule donne la distance Ti du centre de gravité à un point quelconque O, en fonction des distances des points A, A', A'', ... au point O, et des distances mutuelles de ces points. On pourra donc déterminer la position du centre de gravité G, en calculant par celte formule sa distance à trois points donnés.