CENTRE DE GRAVITÉ DES LIGNES

63. Les lignes et les surfaces que Ton considère en géométrie n'ont aucun poids, mais on peut supposer que ces figures soient chargées d'une multitude dé points matériels pesants, ou, ce qui revient au même, que tous leurs points géométriques soient sollicités par de petites forces parallèles. Le centre de ces forces sera, par définition, le centre de gravité de la ligne ou de la surface considérée.

Une ligne est homogène quand des parties de cette ligne égales en longueur ont des résultantes égales ou <fes poids égaux. De même, une surface sera homogène lorsque des portions égales de cette surface auront des résultantes égales.

64. Pour trouver le centre de gravité d'une ligue homogène CD, il suffit d'exprimer que le moment du poids de cette ligne, par rapport à trois plans quelconques, est égal à la somme des moments des poids des éléments li* néaires qui composent celte ligne, par rapport aux mêmes plans.

Soient C1MD=/ la longueur de l'arc entier, M (a:, y, s) un point quelconque de cette ligne, et posons

Fig. 12.

On a d'abord, entre des limites

convenables,

= I y dx^

H- rt?7'+ (Iz^.

Le moment de rélément MM'=: A.v, par rapport au plan xj^ est £^s (z -\- ct)^ cl devenant nul en même temps que Û5. En effet, on peut supposer que le point M' (j: -h Aar,y -+- Aj^, z -|- Az) soit assez rapproché du point M pour que l'arc MIM' soit entièrement compris entre deux plans parallèles à jcOj^, menés par les points M' et M' 5 par suite, le z du centre de gravité de ce petit arc sera compris entre z et z •+■ £^z. On pourra donc le représenter par ^ + a, a étant moindre que A,z.

Donc si l'on désigne par oTi, y,, z^ les coordonnées du poinE G, centre de gravité de CD, on aura

(i) /z, = 2zAj -f- 2aAj,

de quelque manière que la courbe soit partagée. Celte équation a donc encore lieu quand les éléments analogues îi MM' sont infiniment petits et leur nombre infini. Mais on sait que

liin2aA^ = o, limZzA^= i zds^ donc

(2) lzi=z j zds.

On opérera de la même manière par rapport aux plans xOz eiyOz^ de telle sorte que les coordonnées du point G seront déterminées par les trois formules

(3) lXi=z I xdsj ljri= j yds^ lzt=z I zds,

ces trois intégrales étant prises entre des limites qui correspondent aux extrémités C et D de Tare proposé.

65. Si la courbe est plane, on peut prendre son plan pour celui des xy, et alors Zi = o. On n'a donc plus be-

QUATRIÈME LE^ON. iy

soin que des formules

(4) /xi= j x(hy ly,^=. I yds,

66. On peut encore parvenir aux formules (3) en considérant la ligne CD comme la limite d'une ligne polygonale et homogène qui lui serait inscrite.

En effet, on peut admettre comme évident que le centre de gravité d'une droite homogène est au milieu de sa longueur. Le moment de la droite MM', par rapport au plan xOy^ sera donc