G'— A A ,,. G^>-BA „^ G'— G A
c'est Féquation du cône décrit dans le corps par Taxe ft^* OG.
673. Pour que ce cône et le précédent ne soient ^^ imaginaires, il faut que les quantités G* — A A, G' — ^ ' G* — G A ne soient pas toutes trois de même signe. Dof^^^ en supposant A > B > G, il faut que Ton ait
G» — AA<o, G» — CA>o.
Selon que la quantité G* — Bh sera négative ou ppsitiv^^; ces deux cônes seront coupés suivant des eUipses p^ tout plan perpendiculaire à Taxe du plus petit momeiit d'inertie ou du plus grand. Donc, pendant toute ladurfe J du mouvement, Taxe instantané ne s'écartera de l'un de ces deux axes principaux que de quantités limitées^ e|k même axe principal ne s'écartera que de quantités linutées de l'axe fixe OG du couple des quantités de moutement. Si l'on a A = B = G, les deux équations donnent Pj Çy r constants. Alors le mouvement de rotation est uniforme autour de Taxe OG fixe.
674. Les axes principaux relatifs au point O sont les seuls qui puissent rester immobiles avec un mouvement de rotation uniforme. Car pour que l'axe instantané coo-
CIMQUÀMTE ET UHIEME LEÇOII. ^6l
ie toujours la même position, il faut que pj (]y r soient stants. On a donc
dp=zo, dq=i Oy drzn o,
[ui donne
fB — A)/?9 = o, (C— B)7r=o, (A — C)/?r=o,
^IJVEMENT d'un CORPS SOLIDE EIITIÈREMENT LIBRE.
75. Le mouvement d'un corps solide libre, sollicité des forces données, sera connu quand on pourra déminer le mouvement absolu d^un de ses points et le ivement relatif de tout autre point du corps autour elui-là. Si G est le point particulier du corps dont on sidère le mouvement absolu^ il faudra concevoir qu'il >orte avec lui, dans son mouvement, trois axes Gx, , Gzj constamment parallèles à eux-mêmes, par rapt auxquels on cherchera le mouvement de chaque Qt M du corps. Si Ton a seulement pour but de décomer le mouvement du point M en d'autres plus simples Jus faciles à concevoir, on pourra, comme cela a été choisir à volonté le point dont on considère le moulent de translation. Mais, dans l'application, il est ntageux de prendre le centre de gravité. En effet, d'as le principe de la conservation du mouvemçnt du tre de gravité, il suffit de connaître les forces motrices système et sa masse, pour déterminer le mouvement ce point, et de plus, quand ce corps est mis en mouveit par des percussions, il suffit, pour déterminer la »se initiale du centre de gravité, d'y transporter les intités de mouvement qui mesurent les percussions et les composer comme des forces : la résultante est \a^ intité de mouvement initiale du centre de gravité»
Enfin, un autre avantage consiste en ce que, sous t action des forces motrices le mouvement de rotation autour da centre de grai^ité est le même que si ce point était fixe. C'est ce que nous allons prouver.
676. Soient Ç, yj, ^ les coordonnées du point M par rapport aux axes mobiles Gx, Gj^, Gz et désignons par X, Y, Z les composantes de la force motrice appliquée en ce point. On a , d'après le principe des aires,
Or on aurait précisément les mêmes équations si leceoire de gravité était fixe. Par conséquent, si ces équations suffisent pour déterminer le mouvement, il doit être le même pour le corps dont le centre de gravité serait fixe et pour le même corps dont le centre de gravité serait mobile. Soient en effet G A, GB, GC trois axes rectangulaires fixes dans le corps qui tourne autour du point G, et mobiles avec lui. Quand les trois angles ç, 9, «p, définis au n° 657, seront connus pour une époque quelconque, on connaîtra évidemment la position des trois axesGA,GB, GC et par suite celle d^un point quelconque du solide. Or on peut exprimer les coordonnées Ç, 19, ^ du point M en fonction de celles du même point par rapport à GA, GB," GC, lesquelles relent constantes dans le mouvement, et des angles ç, 0, (p. Donc, en substituant les valeurs de Ç,»?» s en fonction de (p, 0, ^ dans les équations (i), celles-ci déterminent les valeurs de (p, (p, 0, en fonction du temp** Ainsi le système (i) suffit pour déterminer le mouvement relatif et l'on voit qu'il est le même, par rapport au centre de gravité, que si ce point était fixe.
CINQliA>TB ET UNIKMË LEÇOJN. 263
>77. INous allons donner une démonstration synthé-
ue de cette proposition. Désignons par (f la force ac-
f^»g- »7^- rélératrice du centre de gravité
G, force qui a pour compo^ santés parallèles aux axes fixes
fi^Xt d^JTi </'2,
~dF' 1ÏF' HF' ^^' ^^'' ^'
étant les coordonpées du point G par rapport à trois axes fixes OX, OY, OZ. La résultante de es les forces motrices dea points du corps transportées "entre de gravité G, parallèlement à elles-mêmes, est I M étant la masse du corps (600). Or, pour avoir le ivement relatif du point M par rapport au point G, ^ffit de considérer ce dernier point comme fixe et de snettre à chaque instant le point M à Faction simultade sa force effective Q et d'une autre force égale à > parallèle à la force accélératrice cp du point G, mais •sant en sens contraire. Or les forces telles que m y Jt parallèles entre elles et proportionnelles aux masses molécules, se composent en une seule M(f qui passe le centre de gravité et se trouve détruite continuelent, puisque c'est autour du point G rendu fixe que torps tourne actuellement. Il reste alors, comme forces près à faire mouvoir le solide, les forces effectives, , d'après le principe de d'Alembert, peuvent être iplacées par les forces motrices données P, P', P'^ . . . , sque les unes comme les autres font à chaque instant lilibre aux forces effectives prises en sens contraire, iuit de là que le corps tourne autour du centre de vite comme si ce point était fixe, en supposant le corps mis dans les deux cas aux mêmes forces motrices^ s en ajouter de nouvelles.
178. On n'arriverait pas à la môme conclusion si 1 considérait le mouvenirnt jclalif autour d'un poiç^t.
quelconque C, autre que le centre de gravité, f étant alors la force accélératrice du point C , toutes les forces parallèles et de sens contraire, telles que m 9, qu'il faudrait appliquer aux autres points , pour avoir le mouvement relatif autour du point C supposé fixe, se composeront en une seule Mf appliquée au point G, en sorte qu'il faudrait joindre cette résultante aux forces motrices données pour avoir le mouvement relatif autour du point C. En général les forces X, Y, Z dépendent des coordonnées x^ /, z ou de la position des points matériels, en sorte que le mouvement du centre de gravité et celui des parties du corps autour de ce centre dépendent Tun de Tautre. Mais quand les forces X, Y, Z, comme la pesanteur, ne dépendent pas de la position du mobile, on peut déterminer séparément le mouvement du centre de gravité et celui du système.
