HYDROSTATIQUE
[NQUANTE-TROISIÈME LEÇON.
ÉQUaiBRB d'une MASSE FLUIDE.
*élini inaires. -— PreBsion d*un liquide sur une paroi. — Égalité lion en tous sens. •— Équilibre d'un fluide incompressible. — ns générales de l'équilibre d'une masse fluide.
NOTIONS PRÉLIMINÀIBES.
L'hydrostatique a pour objet les lois de Véquiis fluides. Un fluide doit être considéré comme oblàge, en apparence continu, de molécules maqui cèdent au moindre effort tendant à les sépaines des autres.
luides que la nature nous présente approchent moins de cet état de fluidité parfaite. Il existe *ement entre les molécules de ces substances une I adhérence qu'on appelle viscosité. L'hypothèse obilité parfaite pourrait conduire à des résultats iformes à l'expérience dans le cas d*un fluide en lent : mais si Ton excepte quelques liquides où la \ est considérable, les lois de l'équilibre auxquelles rviendrons en supposant les molécules parfaite- Lobiles et sans aucune cohésion, s'appliqueront eur sensible aux fluides naturels.
On distingue deux sortes de fluides, les liquides z ou fluides aériformes. Les liquides ne se com-
a8a couas de mécamique.
priment que sous des pressions très-considérables et sont appelés souvent pour cette raison fluides incompressif blés. Les fluides aérif ormes ^ qui se divisent en gaz permanents et en vapeurs, sont compressibles et doués, dans certaines limites, d'une grande élasticité : c^est pourquoi on les nomme aussi fluides élastiques.
PRESSION d'un liquide SUR UNE PAROI.
700. Quand un fluide contenu dans un vase ouvert OU fermé de toutes parts est eu équilibre sous raction de forces quelconques, il exerce une pression sur chaque portion des parois du vase qui le renferme. Cette pre$sion peut varier d'un point à un autre. Pour la définir et la mesurer avec précision, on considère un point M de h surface du vase et une portion infiniment petite w de cette surface comprenant ce point. Le fluide exerce sur cette petite surfaQe oi> certaines actions dont la résultante peut être représentée par /7 0e), si Ton imagine une aire plane égale à l'unité de surface et dont tous les éléments égaux à tù supportent la même pression que w. La quantité p est ce qu'on nomme la pression au point M. En d'autres termes, la pression au point M sera la limite du rapport de la pression exercée sur l'élément w qui comprend le point M à l'aire a), quand cette aire w tendra vers zéro en comprenant toujours le point M.
ÉGALITÉ de PRESSION EN TOUS SENS.
701. On admet comme un résultat de l'expérience ou Pig» *77- comme une conséquence de U
distribution uniforme des mole* lécules des fluides, que la direction de la pression est toujours perpendiculaire à l'élément de surface w sur lequel elle s'exerce. Ce fait se rattache a cet autre plus général : que des corps en contact n'exercent
r Fautre que des actions normales quand leurs s n^ont aucune adhérence ni frottement.
) notion s^applique à une portion intérieure d'un car Téquilibre ne serait pas troublé si.Fon suppo- 3 portion quelconque du fluide solidifiée. On peut in un point quelconque de l'intérieur^ supposer roi plane solide, et il y aura sur chaque élément de rface une pression toujours perpendiculaire à son 1 y a égalité de pression en tous sens pour un loint, c'est-à^ire que si Ton considère une surface ent petite &) passant par un point M pris à volonté fluide, la pression exercée par le fluide sur chaque l'élément o) sera toujours la même, quelle que position que Ton donne à l'élément o), en le faiirner autour du point M.
démontrer ce principe, faisons passer par le [ deux plans quelconques ^ prenons sur leur intersection une longueur MN trèspetite, et menons dans ces plans perpendiculairement à leur iiitersection les quatre droites MI, NK, MI', NK' égales à la lon-^ gueur MN. Il s'agît de démon-^ irer l'égalité des pressions p et >ortées à l'unité de surface que le fluide exerce sur aces planes égales MIKN, MFK'N.
isse fluide contenue dans le prisme droit MII'NKK' core en équilibre si on la suppose solidifiée. Lés is que le fluide extérieur exerce contre les cinq î ce prisme, perpendiculairement à ces faces, font :e aux forces (analogues à la pesanteur) qui solliou tes les molécules intérieures. Donc la somme i composantes parallèles à un axe quelconque est
m s par le point M un axe ML parallèle a la droite luide exerce sur les deux surfaces planes MIKIV
2S4 COURS DE lléCAXIQUE.
etBlTK^N^que nous désignerons par 0» et u^ et qui sont ^ales, des pressions ^o» et pul dont les composantes invant Taxe ML sont pKù cos a. et f/u' cos ol\% et ai' désignant les angles que les normales à ces deux plans on aux droites MI, MI', font avec ML. Ces angles sont sappléments Tun de Feutre. Les pressions normales aoi autres faces Mil', NKK' et IKK' F ont leurs directions •perpendiculaires à ML et par conséquent ne donnent pas de composantes suivant cette droite. Quant aux forces qui agissent sur les molécules intérieures, nous désignerons par X la somme de leurs composantes parallèles à ML.
La somme de toutes ces composantes devant être nulle, on a
pj» cos a -+-/> «' COS a' -h X = o
ou
(l) {p — y)cosaH = 0,
à cause de
tt = «', cos a = — cos a'.
Si la longueur MN diminue indéfiniment, &> décroit comme le carré de MN et X décroît à très-peu pr& comme le volume du prisme ou proportionnellement au
cube de MN. Donc — tend vers zéro: d'ailleurs cos a est
constant. Donc p et p' tendent vers Tégalité quand les surfaces égales g) et co' tendent vers zéro. D'ailleurs cosflt est constant', les valeurs de p et de p' tendent vers des limites déterminées qui, d'après Téquation, doivent être égales^ de sorte qu'on dip'^=:^p\ quand les surfaces égales w, 'J deviennent infiniment petites.
ÉQUILIBRE d'un FLUIDE INCOMPRESSIBLB.
702. Supposons un liquide incompressible contenu dans un vase polyédrique ABCDE. Plusieurs parois sont
CINQUAliTE-TROISIEMB LEÇON. a85
ées d'ouvertures û, û', «",.•., sur lesquelles sont tés de petîls cylindres ayant leurs arêtes perpendî-
culaires à ces parois. Si Ton imagine des pistons qui peuvent se mouvoir dans l'intérieur de ces cylindres, les forces P, P', P",-..
nécessaires pour les maintenir, quand il y a équi- ;, sont égales aux pressions exercées par le liquide re leurs bases. Nous nous proposons de vérifier, 1 cet état d'équilibre, le principe des vitesses virles.
Dncevons que Ton fasse mouvoir simultanément tous )istons^ soient A, A', h"^, • ., les espaces qu'ils parent, ces espaces étant regardés comme positifs ou itifs, selon que les pistons entrent dans le vase ou en ?nt. Le liquide étant supposé incompressible, tous ces acements virtuels sont liés entre eux par l'équation
ah H- a* h' -H a" //'-h. • . = o.
tiplions cette équation par la pression p exercée tre les parois et rapportée à l'unité de surface: en îrvanl qu'on a
endra
PA H- P'/i' 4- P''A" 4- . . . = o,*
jui est l'équation des vitesses virtuelles' dans cet nple particulier.
>n pourrait étendre ce principe au cas où il "y aurait forces motrices agissant sur les molécules du liquide, s la démonstration est compliquée et il vaut mieux xber directement les équations générales de l'équie d(^s fluides, comme nous allons le faire.
COUKS DE MécAVIQUB.
ÉQUILIBRE d'u^E MASSE FLUIDE.
703. Soient Ox^ Oy, Oz trois axes rectangulaires, ce ^^' '^« dernier étant vertical et
p dirigé dans le sens de la pesanteur. Nous faisons cette hypothèse, parce que nous appliquerons nos formules principalement aux fluides pesants. En deux points infiniment voisins m [x^jf^i] et e (x ■+• dx^ y -f- dy^ z -f- dt) construisons ud parai* lélîpipède en menant par ces deux points six plans parallèles deux à deux aux trois plans coordonnés. Soient p la densité du fluide au point m et P la force motrice rapportée à l'unité de masse, qui sollicite chaque molécnk de ce parallélipîpède infiniment petit. Si dm est la masse de celui-ci et X, Y, Z les composantes de la force P, H. dm ^ Y dm ^ Ta dm seront les composantes de la force motrice. Enfin désignons par p la pression rapportée à l'unité de surface qui s'exerce au point m et qui est h même tout autour de ce point.
Si Ton suppose solidifié le fluide contenu dans le petit parallélipipède, l'équilibre ne sera pas troublé. Il faudra donc que les composantes des forces parallèles aux trois axes se détruisent entre elles. Ces Forces se composent des forces motrices X dm^ Y dm^ Z dm et des pressions exereées par le fluide environnant sur les six faces du parallélipipède. Considérons d'abord les pressions qui s*exe^ cent verticalement sur les faces mabg et cdef'^ elles agissent en sens contraire. La première est égale à pdxdy,»
secon
deà (p •+• •;f-dz\ dxdy \ leur résultante parallèleà
dz )
O z est égale à dxdydz ou à ^ dm. On a donc
^ ciz ^ ù dz .
I dp
û dz
dm -f- Z dm = o
CINQUAMTB-TROISliEBfE LEÇON. ^87
. aurait deux autres équations analogues à celle-là^ on onc
dx P ' df ^ ' dz ^
Ainsi les dérivées partielles de la fonction p sont égales dX, pY, pZ. La diiïérentîelle totale de la pression est ne
) 4^ = P ["^dx -^ Y dy -{- Z dz).
iUe est la formule qui donne T accroissement de pression rsqu'on passe du point [x^ Y^ ^) ^^ point infiniment isin (x-hdx^ y-^ dy^ z-^dz). Comme p doit être le fonction de x, j^, z^* le second membre de Téquation écédente doit être une différentielle exacte et, par conjaent, s'il y a équilibre, on a nécessairement
) c/(pX)^rf(pY)^ d(pX)^d{p2)^ d(pY)^ d{pZ) tijr dx dz dx dz dy
expression f\^dX'\'Xdy'\-Tjdz) étant alors la difemielle exacte d'une certaine fouctiony (or, j^, -z), on a
-tant une constante qui sera déterminée quand on con- Ura la pression p^ en un point particulier (or^, y^^ Zo). faudra en outre que, si Ton imagine une courbe fermée ssant par un point m (x, j^, «), la fonction^ (a:, y, z) prenne la même valeur lorsqu'on reviendra au point m, iisqu'on doit retrouver la même pression.
704. S'il n*y a pas de force qui sollicite les molécules térieures, la pression sera constante dans toute la masse i £luide« de sorte qu'une pression extérieure exercée sur le partie du fluide adjacente à une paroi du vase doit se ansmettre avec la même intensité sur des éléments de
surface équivalents dans toute la masse et sur toutes les parois.
705. On appelle surface de nii^eau une surface dont tbns les points éprouvent la même pression « La formule (4 j montre qu'elles sont toutes comprises dans T équation
.a étant une constante. Si Ton fait varier cette quantité d'une manière continue, on obtient une infinité de surfaces. Une couche de niveau est la masse du fluide comprise entre deux surfaces de niveau. L'équatiun f(x^y^ z) z=z a montre que deux surfaces de niveau ne penvenl pas se couper.
706. La force motrice est normale à la surface de niveau en chacun de ses points. En eflTet, soit P cette force, on . a, en tout point de cette surface, *"
Xdx + Yû^r -H Z rfz = o, . »i
d'où, en divisant par T?ds^ ds étant un petit arc tracé p sur la surface,
IL dx Y df Zdz
F ds ' P ds P ds ^'
équation qui montre bien que la force P est perpendiculaire à tout élément de courbe tracé sur la surface et pa*' sant par le point m,
707. Si la pression est nulle ou constante en tous 1^ points de la surface libre d'un fluide, celle-ci est une sa^' face de niveau. Dans un liquide il peut se faire qu'il n ^ ait pas de pressions extérieures. Il n'en est plus de mêi^^ dans les fluides élastiques. Ils ne peuvent avoir de su^^ face libre, ou sur laquelle la pression soit nulle, par^^ que la pression est liée à la densité par l'équation p=A"^ ^ k étant une constante dont la valeur dépend de la tenC^" pérature, en sorte que pour qu'il n'y rut pas de pressio*^ dans une partie de la ruasse, il faudrait qu'il n'y eûlp^^
ClMViUÀIITE-ïhOlSlEME LEÇOKi. uSy
i matière en cet endroit : c'est ce qui explique la néces* le de maintenir les gaz dans des vases fermés de toutes iru.
