ÉQUATIONS GÉNÉRALES DU MOUVEMENT

739. Les équations d^ équilibre des fluides sont fondées sur la propriété quMls ont de transmettre également en tous sens les pressions appliquées à leur surface, et sur celle d'exercer sur chaque élément de surface autour d'un point quelconque de leur masse, en vertu des actions moléculaires, une pression égale eu tous sens et normale à l'élément de surface qui le supporte. Certains faits semblent indiquer que celle dernière propriété n'a pas toujours lieu quand le fluide est en mouvement, c'està-dire que la pression peut n'être pas normale à l'élément sur lequel elle s^exerce, ni être la même dans toutes les directions autour d'un même point. Cependant on peut admettre que cette propriété des fluides a encore lieu, quand le mouvement n'est pas très-rapide, les expériences s'accordant assez bien avec les résultats qu'on déduit de cette hypothèse.

Quand on veut déterminer le mouvement d'un système de points dans l'espace, on se propose ordinairement de trouver des équations qui servent à exprimer les coordonnées de chaque point en fonction du temps. Mais, au lieu de suivre dans son mouvement une seule et même

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molécule, il est plus avantageux de déterminer la vitesse de la molécule fluide qui, au bout d'un temps quelconque, passe par un point pris à volonté dans Fespace occupé par le fluide, ainsi que la pression et la densité du fluide en ce même point, qui reste fixe. Soient jr, y^ z les coordonnées d'un point m; fx la masse de la molécule fluide qui se trouve au point m après le temps t. Désignons par X, Y, Z les composantes, rapportées à Tunité de masse, de la force qui agit sur la molécule jx. Les composantes de la force motrice seront X/x, T|x, Z|x. H faudra cinq éqiulions pour déterminer les composantes u, (^, tv de la vitesse du point, sa pression p et sa densité p.

740. Le principe de d'Alembert fournit d'abord trois équations. Soient ii! dt^ v' dt, w'dt les accroissements de II, 1^, w, lorsque le temps t augmente de dt, I..es composantes de la force perdue sont (X — «'O/^i 0^ — •^'If*'

(Z — ^v')/x, et celles de la force effective ;^f*> -^ p, ^p

Donc, d'après les équations d'équilibre des fluides, on aura

Pour obtenir u\ y'^ iv', on doit différentier u, v^ w, en regardant x, fj z comme des fonctions de t, dont les accroissements sont udt^ vdt^ wdt, en sorte que dx = udt, etc. On aura donc

, du du du du

dt dx dy dz

/ V , , dv dv dç dv (2) { (f = - -| 14 -{^ p ^ ^ ,

dt dx dy dz

dw dw dw dw

«»'= -1- «__ -h t'-T- H- «'-7-, dt dx dy dz

et, par conséquent,

\ dp __ du du du du

^ dx dt dr dy dz

,o\ I ^ dp ^, dv dv dv d(*

p dy de dx dy dz

i dp dw dw dw dw

p dz dt dx dy dz

m, 11 reste encore à trouver deux équations d'équilibre ou une seule si p est constante. Nous trouverons cette équation en exprimant que le fluide est continu.

Concevons dans l'espace occupé par le fluide un petit parallélipipède me [fig- 180, p. a86). A chaque instant une partie du fluide sort de ce volume, et une aulre y entre. La masse du fluide contenue dans ce parallélipipède, pdxilydzj au temps f, devient (p "♦" "/ ^^) dxdydz au temps t-hdt. L'accroissement de masse est donc --^ dt.dxdydz. En vertu du mouvement il passe par la face dydz une tranche fluide pudtdydz. Il passe par la face opposée une masse ipu-\ — ^—-jdt.djrdz. L'excès de la quantité qui entre sur celle qui sort est donc ^—dxdjdzdt^ en supposant pu constant dans toute

l'étendue de la face mabg et de sa parallèle. Or cette supposition est permise, car si l'on considère deux points h et h pris sur les faces md et ac^ la différence des valeurs de /9ii en ces deux points surpasse la différence des valeurs de /9ii aux points m et a d'une quantité infiniment petite par rapport à elle-même. On obtiendrait des expressions analogues pour les quantités de fluide acquises par les autres faces. En exprimant que l'accroissement total de la

masse est égal à -y dxdydz et divisant par dxdydzdl^ on

COURS DE MÉCAHIQCB.

aura donc

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