di dx djr dz

Celte équation est connue sous le nom diéquation de continuité.

742. Si la densité du fluide est constante, ce qui arrife pour les liquides homogènes et incompressibles, l 'équation précédente devient

du d»f dw dx • dy dz

Elle suffit avec les équations (3) pour déterminer toutes les inconnues en fonction de x^y^ z, t,

743. Si le fluide est incompressible, mais non homogène, la densité de chaque molécule est invariable dans le cours de son mouvement ^ mais elle varie à chaque instant a? ec le temps dans un point déterminé et fixe m. La densité f au point m sera donc ime fonction des coordonnées de ce point et du temps \ mais ou peut considérer momentanément x^ y^ z comme représentant les coordonnées d-une même molécule dans son mouvement. Ces coordonnées deviennent fonction de t^ et leurs dérivées par rapport à cette dernière variable sont respectivement u.^ y, w. En diflérentiant la valeur de p sous ce point de vue, on aura donc

En vertu de cette relation, Féquation (4) revient aux deux suivantes :

, » du dv dw

ClffQUANTE-SIXIÈME LEÇOKT. SsS

qni, jointes aux équations (3), serviront à déterminer les cinq inconnues //, u, iv, p^ p en fonction de Xy y^ z, t.

744. Dans le cas d'un fluide élastique et compressible , comme Tair^ on aura (encore cinq équations en joignant aux équations (3) et (4) la relation p = hp qui existé entre la pression et la densité, le coefficient k ne dépendant que de la température de la masse gazeuse.

745. Ces équations suffisent pour déterminer le mouvement si le fluide est indéfini et si Ton connaît son état initial, c'est-à-dire les valeurs de w, i^, iv, p^ p en fonction de x, /, z et pour ^ = o. Mais si le fluide est terminé, il faut y joindre des conditions particulières. On suppose que les molécules en contact avec une paroi fixe ou mobile y restent indéfiniment et que les molécules qui appartiennent à la surface libre ne cessent jamais d'en faire partie. Soit /(t^ x, y, z) = o Téquation d'une surface sur laquelle un point du fluide doit toujours demeurer. On a

équation qui exprime que la molécule sera encore sur cette surface au bout du temps t -f- dt^ et qui donne

df ࣠df df dt dx dy dz

Si la paroi est fixe, ^ disparait ^ et Téquation se rédui-

sant à.

d/ df df dx dy fiz

montre que la vitesse du point est à chaque instant dirigée suivant une tangente à la surface.

11 reste à consi'dérer la surface libre du liquide, ordinairement soumise à une pression u qui est la même pour tous les points, mais qui peut varier avec le temps. On

3a6 COURS DE MÉCAMQUE.

aura pour celle surface p — 17 = o, d'où

du dp dp dp dm

-f -+-^3^ H-*'-- 4-fv-f = — -, de dx dy dz dt

équation qui délermine ci.

746. On a considéré jusqu'ici x^ j^ z comme étant les coordonnées d'un point déterminé pris à volonté dans l'espace occupé par la masse fluide. Si l'on veut obienirle mouvement d'une molécule particulière, ses coordonnées a:, y^ z cesseront d'être des variables indépendantes. Elles dépendent du temps, et pour les connaître il faudra intégrer les équations simultanées,

ITt"^''' Tt^""' de

après y avoir remplacé u, (^, w par leurs valeurs générales en fonction de x, y, z obtenues comme on l'a dit précédemment. Les valeurs de x^ y y z renfermeront comme constantes arbitraires les coordonnées initiales de la molécule.