OTE I

le premier mouvement en deux vitesses, doni 1 une Vtsoin la vitesse de ce point dans le second mouTement. Taiilif composante ot> sera la vitessepere/iieon relative arec laquelle le point devrait s'écarter de la position qa*il occnpenît dans le mouvement fictif (après linstant di) pourainTcr à celle qu'il occupe dans le mouvement réel : le produit tùdt de cette vitesse perdue ou relative par rélément du temps peut être appelé le déplacement relatif du poiat m, i^dtélSLiit ledéplacement réel, et i^i dt le déplacement fictif.

Cela posé, la demi-somme des forces vives — \* m «'correspondantes aux vitesses relatives o), prendra dans chaqne instant dt un accroissement égal à la somme des quantités de travail élémentaire Ped/i£cos(P,Gi>), dues aux forces extérieures P qui agissent sur les points du système et à leurs déplacements relatifs, plus les quantités de travail Qc«)J/cos(Q,w) qu'on obtient en considérant lesforcesQ égales et contraires à celles qui donneraient à chaque point supposé libre et d'abord animé de la vitesse fictive i'i, le mouvement fictif qu'on a supposé, et multipliant ces nouvelles forces Q par les mêmes déplacements relatifs fùdt projetés sur les directions des forces : en sorte qu'on a, pour un temps quelconque,

\^/?îû)' V/W«J=2 / y PcOSfcx/f C0S(P,ft>)

H- 2 / 'VQw^/cos(Q,g*),

cdo étant la valeur initiale de ot) à l'origine du temps.

Pour démontrer ce théorème (*), nommons a, 6, y les composantes de la vitesse w et X, Y, Z celles de U

(* ) Ce théorème a été aussi démontré par M. Combes {Cours de Mécanique professé a l'École des Mines). Dans l'exemplaire qu'il possédail. M. Sturm avait ajouté en marge sa démonstration, que nous reproduisorM"

force motrice P. En conservant les notations déjà em* ployées, on a

ou, à cause de a = tij 4- a, ft = Jj -h 6, . . , ,

^ ^ ^ fdb, . d^

-ff-z:)*^-Ci-s)-]=-

Mais l'équation de condition L = o donne

dt dx dy dz da/

dx dy 1

puisque — = a, — = o, . . . , et

dh dh dh ^ dh dh ,

puisque les vitesses a^, &j,. . ., sont compatibles avec les liaisons du système à l'époque t.

Donc, en retranchant les deux équations précédentes^ on aura

---(fl— «,)+--T-(A— 6,)-H... =0, dx^ ' dy ^

cf L £/L ^ .

dx dy

Donc on peut prendre pour vitesses virtuelles ondt^ %dty, . .^ c'est-à-dire faire

^x =i acf^, 5 j = 6 dt^ ... 9

36o SOTS I.

et Féqi&adoa ( /) derient

Le second membre est égal k - d^mai^ et les composâmes

de la force Q étant — Q"^» — Q~7"'* — QtT*^ ^*^' mole précédente revient à

«/.y* m«»=: a^P»rffcos(P,<fc)) -h 2 VQa»<£f cos(Q,«i),

ce qui démontre le théorème énoncé.

On peut encore supposer dans cette formule que les forces Q soient des forces égales et contraires à celks qui seraient capables de produire le mouvement fictif à Taide des liaisons données; car on aurait d'après le principe de d'Âlembeifi

sans avoir

liai m —- ==Qcos(Q,x). . •

Autrement, On a les deux équations

en appelant Xi, Tt, Z, les composantes des forces — Q qui

WOTE I. 36l

donneraient aux points le mouvement fictif. De là 2[{X-X.H*-..(^-:5)^x-H...]=o,

OU

Mais on peut prendre âx z= adt^ ^ y= Sdty. . . . Donc. . . (*). •

Cette proposition comprend le beau théorème que M. Coriolis a donné pour l'extension du principe des forces vives ou de la transmission du travail aux mouvements relatifs en vertu desquels les points d'un système animés de leurs vitesses acquises à chaque instant s'écarteraient des positions infiniment voisines qu'ils prendraient dans le système solidifié. M. Coriolis a fait des applications importantes de son théorème : il en a donné un autre analogue pour estimer la force vive dans le mouvement fictif, et qui peut aussi être généralisé, comme l'exprime la formule suivante :

qui suppose, toutefois, les liaisons indépendantes du temps. Dans cette hypothèse, en ajoutant les valeurs précédentes

de d*^^m(ù* et de d^^rru^] , on retrouve l'équation ordinaire des forces vives.

Dans la démonstration de ces formules , on observe qu'en décomposant le mouvement réel de chaque point en un mouvement fictif quelconque satisfaisant à toutes les conditions du système, et en un mouvement relatif, ce dernier peut toujours être pris pour un mouvement vir-

(*) Application, — Prendre le mouvement d'une planète pour le mou- Tement réel et le mouvement elliptique pour le mouvement fictif.

{Note de M. Sturm.)