dh dh
sont arbitraires, et que par conséquent -7-^ -h -7- e? -f- • • •
»OTc I, 363
peut avoir une valeur quelconque différente de zéro. Mais il n'y a plus aucune absurdité si Ton suppose que les liaispns L = o, M = O) . . . contiennent le temps pendant le temps 0 et deviennent .ensuite indépendantes du temps ; car la liaison L = o peut être exprimée par (p (.r, j^, z, x'y, . .) =zt ou ^ (t)^ 4' (0 ^^^^^ très-petit pendant le temps 0 et nul après ce temps, tandis que ^' (t) a une valeur finie qui s'évanouît après 9. En supposant, par exemple,
L=x»-|- j«-hz' — ^'r4- af— -— 0 = 0,
on aura pour un temps quelconque (depuis zéro jusqu'à 6)
dh dh dx dh dy
-h • 4- • -h. dt dx dt dy dt
d OÙ, pour t o,
dh dh dh
dt ^ dx^ ' dy
T . dh it dh •
Ici -—- = 2 r-9 et pour f = o on a -r- = 2. Les va-
dt Ô '^ ^^ .
leurs de x^y^ z et celles de — > — ? • • • ne varient pas
sensiblement pendant l'intervalle de temps 0. Mais --p-
décroit depuis 2 jusqu'à zéro et au delà de 6 reste nul, puisque L ne contient plus f.
Pour f ^ 9, on a
dh
dt
On
a pour
un
temps {
l quelconque
dx
dy
dVL
bx
dU ^ dy
364 MOTi': i.
et comme -r-? -;— > • • • restent sensiblement constants, dx dy
âx^ ây^ àz sont constants pendapt le temps d et les
mêmes qu'à la fin du temps 0. On peut donc prendre
dx = ax dt, âY= bxdt^, , ,^ puisqu'on a ainsi
dïu dL ,
dx dy
à cause de — = o, c'est-à-dire prendre pour déplacement virtuel pendant tout le temps 9 le déplacement réel qui a lieu à la fin de ce temps quand L est devenu indépendant du temps. Or on a, en faisant abstraction des forces extérieures,
Intégrant, en supposant ^jt, dj^, ... constants depuis f = o jusqu'à f = ô,
ou
\^ m [(«, — fl)^a: 4-. . .] = o.
Il est permis de prendre àx = axdl^ $y = bx dt^.,,] alors
2»ï[(û|— û)ai4-. . .]=:o(*).
f^érification , méthode im^erse. — Appliquons au
(*) Cette équation est la première de la page 353. On en déduit comme plus haut le théorème énoncé. La démonstration précédente avait été indiquée par M. Sturm à M. Tabbé Julien. Voir Problèmes de mécanique rationnelle, Paris, i855, t. II, p. 255.
NOTE î. 365
point m, supposé libre et animé de la vitesse initiale vf
pour f = o , les forces A -r- > A -7- > • • • » /x --— , . . . . On a * dx dy dx
d^x , rfj; û?W
Supposons que pour un temps /, entre zéro et 0, .t:,y, z
, . fi^L dfA
restent a peu près constants, ainsi que — > -v-ï* ••?
quoique L contienne t. En intégrant l'équation précédente, on aura
Supposons y- cîx -h — (ïy -f-. . . = o : Jx, cîj^, ... resteront constants. On aura
m [{oi — a) $x -\- . . .]
m (oi — fl) «1 +. . . = 0.
Autrement et plus brièvement on a
Intégrant, on a, puisque âxy dy^ âz^, , . ne varient pas avec le temps,
et entre les limites zéro et 6
y I /w (fl, — fl)^a:-h. . . =0.
lîOTE II.
