MOUVEMENT DE LA TERRE

(Leçon faite par M. Starm à la Facnlté des Sciences, en Juin 1851.) (*)

Soient X, Y, Z les coordonnées, rapportées à trois axes Fig- 192» rectangulaires fixes , de Tex-

trémilé M du pendule : le point M est sollicité par deax forces dont l'une est la re- ^ sul tante des attractions des .

diverses parties de la terre, tandis que l'autre provient de l'attraction du soleil et des autres corps célestes. Nommons g et f ces deux forces rapportées à l'unité de masse et désignons par g^^-i g„, gi» y ,y,Xïcurs composantes parallèles aux axes. Eu appelant d'X, (î Y, d Z les variations des coordonnées X, Y, Z qui résultent d'un déplacement virtuel quelconque du point M, on aura l'équation

^-s-x-^Hx

r-^Y-AKY

-g,-A]sz=zo.

Appelons a, |3j y les coordonnées du centre de gravité G de la terre et x^ y, z celles du point M par rapport à trois axes parallèles aux axes fixes menés par le centre de gravité. On aura

X=:a-hJ:, Y=:p-h^, Z=7H-z,

(*) Nous devons à l'obligeance de M. Puiseux la rédaction de celte Leçon sur laquelle nous n^avons trouvé, dans les papiers de M. SturiD> que des notes incomplètes.

fet si l'on observe que les composanlesyj^, g^^ . . . , peuvent

aussi bien être représentées par^^, g*,, . . . , on remplacera l'équation précédente par celle-ci

Mais si Ton admet, comme nous le ferons, que la force ysoit la même en grandeur et en direction pour tous les points de la terre, et si Ton nomme fz la masse d'un point de celle-ci et M sa masse entière, les principes généraux de la dynamique nous donneront Téquation

d'OL

d'oi

dt^

On aura de même

Par suite l'équation établie ci-dessus devieudra

ainsi le mouvement du pendule sera le même que si, le centre de gravité étant immobile, le point M n'était soumis qu'à l'attraction de la terre.

Supposons que l'axe Gz passant par le centre de gravité soit l'axe de rotation de la terre (*). Soit P le point

C*") Et qae ïes z positives soient diri{][ées vers le pôle boréal ; admettons de plus que la rotation se fasse de Gjr vers G 2.

de suspension du pendule PM; abaissons du point P mr l'axe Ta perpendiculaire PK que nous désignerons par r; appelons n la vitesse angulaiit "*■ '^' de rotation de la terre et comp-

tons le temps t à partir du moment où la droite PK se trouvait dans le plan Gj'^ ; les coordonnées du point P relativement i l'origine G seront

k désignant une constante. Si l'on prend la seconde sidé*

raie pour unité de temps, le nombre n est égal à ~ — on •■^ ' 06400

environ— T — ^ ; on voit que c'est une petite fraction.

Regardons maintCDant le point P comme l'origine de trois nouveaux axes de coordonnées Vxi , P^i, Pzi que nous supposerons emportés avec la terre. Nommons a, b^c les cosinus des angles que Gx fait avec ces nouveaux axes, a', b', c' ceux des angles que fait Gy, et a", b", c' ceux des angles que fait avec les mêmes axes le prolongement Ga' deGr. On aura

x=: rsiont-h oj:, +(y-, + cz,,

X = rcosn/ + a'x, + b'j\ H- f's, , I

La quantité g^âx + g,$y ment virtuel de la force g, que soient les axes des coord

peut donc s'écrire

d^x dfi

(îx4-

Mais

on a

Sx ^7

+ -;;r ^2 = g'x, ^^. -+- g>, ^Xi -+- Ç», ^ 2. .

Fig. 194.

D'un autre côté, menons par le point P les droites

P$, Pyj, PS respectivement parallèles à Gr, Gj^^ Gz', et dans le plan P l^m perpendîcu- .

laîre à G-z, menons PE perpendiculaire à la droite KPF, dans le sens de la rotation.

Les angles des droites PE, PF avec Pxj, Pj-j, Pzj ne varieront pas avec le temps, et l'angle FPy? étant égal à nt^ on aura

a = COSJfiPÇ:

b == COSJ, P Ç :

C = COSZiPÇ :

a r=z co5ar,P3Q =

h' = cosjriPîQ =

= cos/i/cosEPxi H- siD/ircosFPoTi , =:cos/ircosEP7, -h sin/i/cosFPj, , = cos/i^cosEP z, -h sin/ircosFPzi ,

— sin/zrcosEP^i 4- cos/i^cosFPa:,,

— sin/ifcosEPj, 4- cos/ircosFP;^,,

— sin/i^cosEPZi -f-cos/i/cosFPzi :

a^y h", c'' sont indépendants du temps. On conclut de ces formules

da Tt''

da^ dt

— na

^=nb\ -^ =

db dt

dc^ di

ne.

SjO NOTE II.

L'équation

X =r rsin nt -+- ax^ -f- ôj, -h rz, ,

nous donne par suite

dx dxi - ofy, f/z, , . , ,

-— = /ircos/if + «-7- 4-^-r +^-3- H-w«^iH- «^^1 + "^^'j flfr ^r at dt

= — n^rsmnt-^a — --- -f- b — -^ — h c — --

dt* dt^ dl^ dt

, dxi i,dY\ ,dZi , ,, . ,

at dt dt

On aura pareillement

d^r .d^x, ,,d^Yx ,d^z^

— f == — nVcos/ir 4- «' -TT + * — rr -»- ^ TT

— 2/îa— ; 7,nb—, une ■— /iVa?, — /ï'6 ri — rvch)

dt dt dt j .

et de plus

f//» 1//2 dt* dC" '

* Observons maintenant que les coordonnées x^^ y^ i\ du point mobile M doivent vérifier Téquation

l désignant la longueur du pendule : il en résulte

•Jf7| »y 1 «v Zi

-j. ^x, 4- y dj, -h - (ÎZ, = o.

Ajoutons cette équation multipliée par un facteur indéterminé X à l'équation

et remplaçons dx^ cîj, <Î2J, -^5 -^» — par les valeurs

qu'on vient de trouver. Nous aurons

dl^ dt^ dt^

dxi dy, dz^

— n^ ax^ — n}hyy — rCcz^

— /î*rsin/ir

df" ^ dt^ ^ dt^

, dxt djTi dZi

^j^^ina — — inb — —une — j{a' ^x.-hb'Sy.-^-c'iz,)

— n^a! x^ — n^b' y^ — w'c'z, \ — n'^rcosnt

(^" ^ -»-''' ^ -^ ^" if) (^"^"' "^ ^"^^' -*- ^"^^'^

^^^Sx^^^lSy^-^^-^êz^

Nous pouvons maintenant dan& cette équation égaler séparément à zéro les coeflSeients de dxi^ dy^y Jzj, et si nous avons égard aux relations connues

hc 4-è'c'-f-^"c'' = o, ac 4- «'c'-h a'^c" = o, ab'ha'b'-ha''b''=o,

bc' — cb' = a\ ca' — ac'=zb\ ab' -^ ba' z=: c\ et aussi aux formules

a sin nt -f- b'. ces nt =. cosFP j:, , bsïnnt H- b'cosnt = cosFPj, , csinne -f- c' cos/?r = cosFPz, ,

ij2 MOTE 11.

nous trouverons

dt^ dt de \ t ji i if

— /iVcosFPx, ■+■ —■ g^^ = o.

— /î'rcosFPj, -h -y —gu = o,

— /l'rcosFPzi H — J-' — ^,, = o.

Ces équations ne diffèrent de celles du mouvement d^un

point libre que par les termes —S —S — ' qui pris en

signes contraires expriment les composantes parallèles aux axes Pxj, P/i, Vz^ d'une force X dirigée dans le sens MP suivant le fil qui supporte le point M. La tension de ce fil est donc égale à X.

Il est aisé de reconnaître que dans les trois équations du mouvement obtenues tout à l'heure les termes en n', pris en signes contraires, représentent les composantes de la force centrifuge du point M due à la vitesse de rotation n. En effet soit I la projection du point M sur Taxe de rotation G -s; le quadrilatère PMIK projeté sur l'axe Vxx nous donnera

KPcosFP^, -f- PMcosMPjr, -|-MIcos(MI, j:,)-f-IKcos(TK, j:,) = o,

ou bien en observant que l'angle (IM,Xi) est le supplément de (MI,j:i),

MI ros(IM,j:,) = rcosFP^, -+• a-, — a" [a" x, -f- h" y, -h r"«,),

et par suite

/iVMIcos(lM,X|) =/i*rcosFPj:, -4-/1*0?,

Or le premier membre est la composante suivant Pxi de la force centrifuge du point M due à la vitesse de rotation n : les termes

— /l'xi + /i»a"(a"x. + b"f, 4- c"z,) — /iVcosFPx,,

qui se trouvent dans l'équation en -— ^ expriment donc

cette même composante prise en signe contraire.

Appelons f la force centrifuge pour le point M et ^xjî Jjti f»i ses trois composantes parallèlement aux axes Pxi5 Pj^i, Pzi •, nos trois équations pourront s'écrire

Les quantités /,, -h gr*.?/r. -H Sy.-^fz, H- g'», sont les composantes de la pesanteur apparente au point M, c'està-dire de la résidtante de l'attraction de la terre et de la force centrifuge. Désignons-les par p^^^ p^^, p^^^ et les trois équations précédentes deviendront

d^x, \Xy „ djr, dz,

dO l dt dt ^ '

Jusqu'à présent nous n'avons pas déterminé les direc-

374 WOTE lï.

lions des axes des Xx^ ji^ Zi : supposons maintenant qu'on fasse coïncider l'axe des Zi avec la position d'équilibre Pm du pendule [*). Les équations précédentes doivent être vérifiées lorsqu'on suppose le pendule en repos dans cette position; si l'on observe qu'alors on a Xi = o, yi = o, Zi = o, et si l'on appelle P la valeur correspondante de X, on aura pour le pendule en équilibre

Pm, = o, Px, = o, /?,, = P.

On voit par là que la tension P du fil dans la position d'équilibre se confond avec la pesanteur apparente p au point m. Si maintenant on néglige les variations que cette pesanteur apparente éprouve en grandeur et en direction dans l'étendue des excursions du pendule^ on pourra dans les équations du mouvement remplacer p^^ par zéro, p^^ par zéro et p^^ par p : ellos deviendront, à ce degré d'approximation, -^

Ht" l dl dt '

dt^ l dt dt ^

La pesanteur apparente est, comme on Ta dit, la résultante de l'attraction de la terre et de la force centrifuge. Si Ton regarde la première force comme constante en grandeur et en direction dans l'étendue des excursions du pendule (et en effet, ignorant la constitution

(*) Nota. On doit remarquer que la direction Pm du pendule en équilibre est celle de la verticale ou de la pesanteur apparente au point m, mais qu'elle est {jcnéralcment différente de la direction de la verticale au point de suspension P. I/ocart de ces deux verticales explique la déviation entre l'est et le sud qu'on observa dîxns la chulo des corps qui tombent d'une prandc hauteur.

MQTE II. 375

intérieure de la terre^ nous ne savons pas apprécier les variations que cette force éprouve) ; mais qu'on veuille tenir compte des variations qu^éprouve la force centrifuge dans les mêmes limites, on pourra encore r^arder gj^^^ Sji^ 8*i comme ayant toujours les mêmes valeurs que dans la position d'équilibre, mais cela ne sera plus permis pour

t/jt-,» JjTi^ J»x*

Pour nous débarrasser des quantités g^^^ gj^^ g^^j écrivons que les équations du mouvement, telles que nous les avons obtenues d'abord, sont vérifiées lorsqu'on y suppose à Xi, j^i, Zi les valeurs constantes 0:1 = 0, ^^1 = 0, Zi = /. Il nous viendra

ti^a" c" l — /ïV cosFPj:, — ^,^ = o,

n'b"c"l — n'r cosFPj, — gy^ = o,

P — /z'/ 4- n}c"''l ~ /iV cos FP2, ■— g',, = o.

Tirons de là les valeurs de g^^^ gj^^ gs^^ et regardons-les comme convenant à une position quelconque du point M : alors nous pourrons les substituer dans les équations du mouvement, et elles deviendront

d^x, . À X, dx, dz,

—7- — — — -4-2/ic — 2/ie>' -3-

dt^ l dt dt

^-^ -4- -ri! 2 /2c" -— + 2 na" -4dt^ ■ l dt dt

--— - H ; h 2 nb" —■ 2 na'' -^

de l dt dt ^

En négligeant les termes en /i*, on retrouverait les équations qu'on a obtenues tout à Theure en négligeant les variations de la force centrifuge.

. Concevons le plan passant par la position d'équilibre

Pm du pendule et par une parallèle à Taxe de rotation de la terre ; c'est ce qu'on appelle le plan du méridien pour le point m. Prenons Taxe des Xi perpendiculaire a ce plan, on aura a!^ = o, et si Ton fait

b" = ces 7 , c" = sîn 7 ,

Tangle y sera la latitude du point m. Les équations précédentes deviendront, en supprimant les indices des lettres x, y^ Zy

d^x \x . dy dz .

— ; — I — --f-2/i sm7 -; 2/1 COS7 -7-4- des termes en/i'=o,

dt^ l ' dt 'de

d^Y \y , dx .

«»^-(--^ 2nsmf—r -h des termes en /i'=o,

dt^ l ' dt

d^z \ z dx

— ; h -; P -+- 2 « cos f —r ■+■ des termes en «'= 0,

dt^ l dt

et en négligeant les termes en n* ou les variations de la force centrifuge

d^x \x ' dy dz

— 1 — --+-2/isin7-7 2/2 cos 7 —- = o

dt^ l ' dt ' dt

d^r ^r . dx

dt^ l ' dt

d'^z \z ^ dx

__-+__p + a«cosy-;=o.

Bornons-nous à ces dernières équations; si la terre était immobile, de sorte qu'on eût /i = o, elles se réduiraient à

d^x \x d^Y Xr d^z \z

Admettons de plus que le pendule s'écarte peu de sa position d'équilibre, et regardons a: et j^ comme de trèspetites quantités du premier ordre; en vertu de l'équation

z ne diflérera de / que de quantités du second ordre, et en

NOTE II. 3j7

les négligeant la troisième des équations ci-dessus nous donnera X = P 5 par suite les deux autres deviendront

<it^ l ' dt^ l

Ne supposons plus maintenant /i = o , tnais regardons n comme une petite fraction ; nous allons montrer qu'on a encore deux équations semblables aux précédentes, mais par rapport à des axes qui tourneraient uniformément autour de la verticale Pm du point m. En effet, la troisième équation du mouvement nous donne

dx > = P — 2/2COS7 -r»

' dt

portons cette valeur dans les deux autres et négligeons-y les termes du second ordre ^ elles deviendront

d^x Vx . dr

dt^ ^ l ^ ' dt '

d^x Pr dx

-T— H 7- — 2/isin7 -- =0.

dt^ l ' ' de

Içiaginons maintenant dans le plan VXi y^ deux droites rectangulaires mobiles Vx\ Vy' tournant autour du point P avec la vitesse angulaire constante n sin y = Âr : si nous appelons x\ y\ z les coordonnées de rextrémitédu pendule par rapport aux axes Pj::', P^', P^, nous aurons

X =:x'coskt — j'sinAv, y = or'sîn kt -h/'cosAr,

et en substituant ces valeurs dans les équations précédentes, puis supprimant les termes qui contiennent le . produit de n* ou de A' par des quantités du premier ordre, il viendra

d'i PÇ\ , (d-^n^ P^J 1 . ,

+ >)eosA.- — +-;^)smA/ = o,

/./'H PÇ\

d'où

KOTB 11.

di'

dû'

équations pareilles à celles qu'on avait trouvées dans la supposition de la terre immobile. Ainsi en supposant r amplitude des oscillations très-petite, la projection horizontale de Textrémité du pendule se mouvra sensiblement par rapport aux axes mobiles Px', Py' comme elle le ferait par rapport aux axes Vx^ P/i si la terre était en repos. Si donc chaque oscillation est à peu près plane, le plan dans lequel elle paraîtra s'accomplir tournera autour de la verticale avec la vitesse angulaire nsiny.