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Si avaat le choc les deux corps allaient dans le même sens, après le choc le sens du mouvement commun sera le même. S'ils allaient en sens contraire, la vitesse commune après le choc sera celle de la sphère qui avait la plus grande quantité de mouvement. En particulier si les deux corps, allant à la rencontre Tun de Tautre, avaient des quantités de mouvement égales, le choc le? réduirait au repos.
632. Equation des forces vives. — On a, pendaut toute la durée du choc
i-^\ -h m' i -^\ = mv' -4- m'v'^ -f- 2 Tr dr.
Cette équation exprime que la somme des forces vives à une époque quelconque est égale à cette somme prise au commencement du choc, plus le double de l'intégrale de R rfr, prise à partir de la même époque.
633, 634. Choc de deux corps parfaitement élastiques. — On a
//i(^] -f-wM-^j =wp»4-'w'i^'^
[Tt)
Vitesses des deux centres de gravité après le choc :
2/WP-h(/w' — m) v'
635. Soit u la vitesse commune aux deux centres de gravité, au moment où la compression est la plus grande. On a
La vitesse de chaque corps au milieu du choc est la moyenne arithmétique entre sa vitesse avant le choc et sa vitesse après le choc.
La vitesse relative avec laquelle le centre de gravité C s'éloigne de C après le choc est égale à celle avec laquelle il s'en approchait à Finstant où le choc a eu lieu.
636. Examen de quelques cas particuliers. — Si le corps G est en repos au moment où C vient le rencontrer, la vitesse après le choc est
m -h /w' 637. Si les corps sont parfaitement élastiques,
Si m^ est infiniment grande par rapport à m, le corps choqué demeure en repos, tandis que F autre est réfléchi en sens contraire avec une vitesse égale k celle avec laquelle il est venu rencontrer le premier.
638. Quand les deux masses m et m' sont égales, si les deux corps sont mous,
Si les deux corps sont parfaitement élastiques, ils ne feront qu'échanger leur vitesse.
Si l'un des corps était en repos, l'autre restera immobile après le choc et lui transmettra sa vitesse.
639. Théorème de Carnot. — La somme des forces vives ne change pas par Tefiet du choc quand les corps sont parfaitement élastiques. Mais lorsqu'ils sont mous, elle diminue et la différence est égale à la somme des forces vives dues aux vitesses acquises ou perdues par les deux corps ;
mv
'-f-zw^p'^— (/w-h tn'y=z m{i> — uY -^m^u^v'y.
On peut encore mettre cette perte de force vWe sous
mm
la forme
64U. Mouvement du centre de gravité commun. — La vitesse du centre de gravité reste constante avant, pendant et après le choc.
641. Principe de la moindre action. — Dans le mouvement d*un système de corps pour lequel le principe des forces vives a lieu, si Ton multiplie la vitesse de chaque point du système par sa masse et par rélémenlde sa trajectoire, et qu on intègre la somme de ces*produits depuis une position donnée du système jusqu'à une autre position aussi donnée, la valeur de cette intégrale
mvds est généralement un minimum.
Quand les points mobiles ne sont soumis à aucune force, on a
mv^dt=c[t — u)y
Le temps du trajet est un minimum.
sur la rotation d*un corps solide autour d'un point fixe.
