DU MOUVEMENT UNIFORMÉMENT VARIÉ
16i. Soit un point niatériel M qui se meut sur une
Fig, (5j. droite O j: de telle sorte que
. , sa vitesse ^ croisse propor-
tionnelJement au temps f, à partir du moment où le mobile était en un point donné A. S^ît g ràccroissement cohstant de la vitesse pour chaque unité de temps. Le point O étant pris pour origine, soient OA = b Tabscisse du mobile à l'époque initiale, et 0\I = J: soù abscisse après le temps t. En appelant a la vitesse du mobile an point A, on aura
(i) vz=a-{-gt
ou
dx = adi -^gtdt;
on a donc, en intégrant,
X = c -4- nt -^ ^—
Or pour t=o, on doit avoir x=zb\ donc c=zb^ et Tcquation du mouvement est
il] X =zh -^ at-{-- —
Le mouvement représenté par celte équation est dit uniformément varié ou accéléré.
TREIZIÈME LEÇO». 113
i63. Si l'on place le point O en A, c'est-à-dire si l'on compte les espaces à partir du point où se trouvait le mobile à rorigine du temps ; si de plus on suppose a = o,
on aura
Ces deux équations sont celles qui lient l'espace, la vitesse et le temps dans la chute des corps pesants qui tombent dans le vide. L'observation donne à Paris ^= 9*980896 en prenant la seconde pour unité de temps. II en résulte que tout corps pesant parcourt dans le vide, dans la première seconde de sa chute, ^ g oxx 4"',9o448<
PRIJfCIVE DBS MOUVEMENTS RELATIFS.
164. Il existe une relation entre l'intensité de la force <pii sollicite un point matériel et la variation de vitesse que cette force produit. Cette relation se déduit d'un principe qu'il ne parait pas possible de démontrer à l'aide du seul caîsonnement, mais auquel on a été conduit par une multitude d'observations et d'expériences, principe qui est vérifié par Taccord constant des conséquences qui s'en tieduisent avec les phénomènes observés. Ce principe consiste en ce que si des points matériels M, N, P. . . se
meurent dans Vespace suii^ant des droites parallèles, ay^ec une vitesse constante ou variable^ mais qui soit la même pour tous M 1^ chaque instant, de sorte qu^Hs
froissent ne pas se déplacer les uns par rapport aux autres^ si Fun des points, M par exemple, vient à être folUcité par une certaine Jorce^ le woui^ement relatif du point M 12 regard des autres points sera le même que le mouvement absolu qu-aurait ce point M si le moui^cment commun n^ existait pas et que le point M partant du repos fût encoi^ sollicité par la même force.
I l() COURS DE MECANIQUE.
C'est ainsi que sur un bateau transporté d'un mouvement lectiligne et uniforme, les mouvements relatifs que nous imprimons aux corps transportés avec nous sont les mêmes que si le bateau était en repos.
Mais cette loi de la nature ne peut être soumise à aucune ex|>éricnce directe et rigoureuse. Elle est vérifiée par l'accord des conséquences qu*on en tire avec les faits observés, surtout en astronomie.
165. Il résulte d^abord de ce principe que si un point matériel animé d^une vitesse acquise vient à être sollicité par une force dirigée dans le sens même de son mouvement, cette force lui communiquera, après un temps quelconque, un accroissement de vitesse précisément égal à la vitesse qu'elle lui imprimerait s'il partait de l'état de repos.
En effet, soit un point matériel M se mouvant uniformément sur une ligne droite avec une vitesse v. Dans un temps quelconque 0, succédant au temps t, il parcourra un espace vQ si aucune force n'agit sur lui. Mais supposons que, pendant le temps 6, il vienne à être sollicité par «ne force P dans le sens de son mouvement. Désignons par Ç l'espace que cette force ferait parcourir au point M s'il partait du repos, et par u la vitesse qu'elle lui im-
primerait au bout du temps fl, vitesse égale à — | (158).
Alors le point M, animé de sa vitesse acquise v et sollicité en outre par la force P, parcourra pendant le temps 6 un espace égal à i^O -f- |. Car si l'on considère d'autres points sur la même droite Ox ou en dehors, se mouvant uniformément avec la vitesse ^', chacun d'eux parcourra dans le temps â Tcspace v%. Or, en vertu du principe des mouvements relatifs (164), le point M, auquel seul est appliquée la force P, doit, au bout du temps 0, précéder les autres points dans le sens du mouvement d'une quantité égale à l'espace \ que la force lui ferait parcourir s'il était d'abord
TREIZIEME LEÇON. II7
eo repos. Le point M parcourra donc l'espace i^0-+-$ dans le temps 0, et sa vitesse sera
dO dB
Ainsi la vitesse i^ se trouve augiueiilëe par Taction de la force P de la quantité m, c'est-à-dire de la vitesse que la force P imprimerait, après le temps d, au mobile pris d'abord à Tétat de repos.
On voit de même que si le point mobile, animé d*une vitesse i^, est sollicité par la force P en sens contraire de son mouvement, sa vitesse diminuera de la même quantité u et deviendra u — u au bout du temps 0. Ainsi le changement de vitesse produit par une force qui vient solliciter un point en mouvement est indépendant de la vitesse précédemment acquise.
EFFET n'uNE FORCE COUTSTAlfTE SUR UN POINT MATÉRIEL.
i66. Supposons maintenant qu'une force P, d'iniensitë constante, agisse d'une manière continue sur un mobile. U résulte de ce qui précède qu'elle devra augmenter ou diminuer sa vitesse de quantités égales en temps égaux. En effet, soit u la variation de vitesse produite par cette force dans un premier intervalle, de temps 0, i^ -f- ii sera su boni de ce temps la vitesse du mobile. Mais au bout d'un second intervalle de temps égal à 0, sa vitesse devra etre^'-f-M-f-a ou f'-f- 211 vpar la même raison, au bout d un troisième intervalle de temps 0, sa vilesse est i^-j- J//, et ainsv de suite.
Soit a la vitesse que possède le point mobile à riustani où la force commence à agir sur lui, et soit g la vitesse que la force imprimerait à ce point au bout de Tunité de temps, s'il était d'abord en repos. Alors le mobile au bout du temps t aura la vilesse a -{- gt ou. a — gt^ suivant que la force constante agira dans le sens de la vitesso
Il8 COURS DE MÉCANIQUE.
initiale a ou en sens contraire. Le mouvement du point est donc uniformément varié (162).
COMPARAISON DES FORCES, D'APRÈS LES MOUVEMENTS qu'elles impriment au MEME POINT MATÉRIEL.
167. Nous n'avons considéré qu'une seule force a^s-^ sant sur le point M. Supposons maintenant que ce mobile, déjà animé de la vitesse p', vienne au bout du tefups t à être sollicité dans le même sens pendant le temps 0, par deux forces P et P qui, en agissant séparément, feraient parcourir à ce point, pris à Tétat de repos, des espaces \ et X pendant le temps ô et lui imprimeraient des vitesses
d\ , dV dB dB
Imaginons que de la position M partent à la fois deux points matériels animés tous deux de la vitesse u^ mais l'un étant soumis simplement h, T action de la force P et l'autre à l'action simultanée des forces P et V. Le premier parcourra dans le temps 6 l'espace vQ -f- Ç, et d'après le principe (164), le second aura sur le premier une avance de |'. De là il suit que t^ô H- Ç -♦- Ç' est l'espace parcouru par le point matériel M qui, déjà animé de la vitesse r, est sollicité pendant le temps Q par les deux forces P et V, Donc au bout de ce temps sa vitesse sera
dl dl' dB d9
Ainsi le changement de "vitesse produit sur un mobile par V action simultanée de deux forces est indépendant de la vitesse acquise et est égal à la somme des vitesses au aurait eues séparément le mobile si^ pris à Vélat de repos ^ il aidait été tour à tour soumis à l'action de chacune des forces V etV .
On verrait de même que si lé* forces P et P' agissaient
. enseDS contraire, le changement de vitesse dans le temps S serait ^al au — u\
168. Cela posé, il est facile de démontrer que tjleux forces d^ intensités constantes sont entre elles comme les changements de vitesses quelles peuvent produire separéinent pendant le même temps sur un même point matériel.
En effet, supposons qu'une force f agisse pendant un temps 6 sur un mobile dont )a vitesse acquise est (^. Elle fera subir à ce mobile un accroissement de vitesse A. Soit A^ la variation de vitesse qu^éprouverait le point par raciion séparée d'une autre force J'] ^ifcif^ agissent simultanément, le changement de vitesse sera k-+-h' (167). Donc si y =y, on aura h-\-h! z= ih. Ainsi une force a/ produira un changement de vitesse égal à 2 A; de même, une force Zf produira un changement de vitesse égal à 3i, et en général uue force tï/* produira un changement de vitesse égal à nk.
Soient maintenant P et P deux forces d'intensité constante, et soient u et vl les changements de vitesse qu'elles produisent sur un même mobile pendant un temps B, Je ^is qu'on aura
En offet, si les forces P et P' sont entre elles dans un
rapport commensurable, soit^ leur commune mesure et soit
'i et n' étant deux nombres entiers, de sorte que l'on ait
Si h est le changement de vitesse que produirait la force f dans les circonstances déjà spécifiées, on aura
