La machine d'Atwood offre un troisième moyen
Réduite à l'état le plus simple, elle se compose d'une poulie verticale P, mobile autour d'un axe horizontal et sur la gorge de laquelle s'enroule un fil portant à ses extrémités deux corps pesants G et G'.
Soient ni et m' les masses des corps G et G'. La force motrice de G étant mg', et m' g étant celle de G', si l'on suppose m }> w', le système sera entraîné par une force motrice égale à mg — m' g o\x[m — ^)g» Mais comme cette force sollicite une masse m -h m' ^ la force accélératrice du système ou la force motrice rapportée à l'uii^tl!; de masse sera ' '^
On pourra donc au moyen de cet appareil ralentir autant qu'on le voudra le mouvement du système.
QUIMZIÈME LEÇON. iZj
CHUTE D-'uM CORPS PESANT DANS UN MILIEU QUI RÉSISTE COMME LE CARRÉ DE LA VITESSE.
195. Supposons que le corps qui tombe soit symétrique autour d'un axe vertical. Le poids du corps est une force dirigée suivant cet axe, et il en est de même de la résultante R des résistances partielles qu'oppose l'air à la chute du corps, aux différents points de sa surface ; la force R agit en sens contraire de la pesanteur. Soient m la masse du corps et G son centre de gravité ou de masse, situé nécessairement sur Ox, La force mo- . trice du corps due à la pesanteur étant mg^ mg — R sera la force
, n 'ng — R
motrice réelle et — ^ ou
g sera la force accéléra-
trice.
L'observation prouve que la résistance R, lorsque le
mouvement du corps n'est ni très-lent, ni très-rapide ,
peut être regardée comme proportionnelle à la densité
du milieu et au carré de la vitesse du mobile. On peut
donc poser
p désignant la densité de Taîr, i^ la vitesse du corps et a un coefficient que l'on peut déterminer pour le corps pesant considéré par une expérience, et qui ne dépend nidcjo ni de ^. Par conséquent la force accélératrice du
milPe SAra ^ i- — .
[e sera g
196. Si le corps est une sphère, en appelant D sa densité, r son rayon, on aura
l38 cou as DE MÉCÀKilQUE.
d'où
, V R 3aptf^
^ ^ m 47rr»D
D'ailleurs on trouve par l'observation que la résistance du fluide est proportionnelle à la surface de la sphère ou au carré de son rayon; on peut donc poser a = 6r*, et
Ton a
R 3b pc' ypp^
Enfin, pour la même sphère et pour le même milieu, y, p, D, r étant des constantes, on peut poser
Dr
et il vient enfin
La constante k désigne la vitesse que devrait avoir le mobile pour que la résistance de Taîr fût précisément égale au poids du corps.
497. En supposant toute la niasse du corps concentrée à son centre de gravité G, le mouvement de ce point, et par suite celui de tout le corps sera déterminé par Téquation
de là on tire
2 gdt 1 kdv
ce que Ton peut écrire ainsi :
2 g fit k -{- ç -{- k — p dif (h
Kii intégrant de part et d'autre, on aura donc
QUINZIÈME LEÇON. lig
Si l^on détermine la constante par la condition que la vitesse soit nulle pour « = o, on a c =-0, et l'équation
devient
On en tire
\ d'où
Qgl
2gt
3jP 1 -h tf *
OU enfin, en divisant les deux termes par e ,
remplaçons ^ par -j- 9 nous aurons
