Si deux forces V et Q sont représentées en gran

deur et en direction par les deux côtés contigus AB et AC du pa^ rallélogramme ABCD, la résultante R de ces deux forces sera représentée en grandeur et en direction par la diagonale AD de ce poj'allélo gramme, en sorte que les composantes et la résultante peuvent être représentées par les trois côtés du triangle ABD.

Pour démontrer ce théorème, nous commencerons par faire voir que la résultante est dirigée suivant la diagonale AD^ en nous appuyant sur le lemme suivant : Soit un losange ABCD, de forme invariable : appliquons

aux points A et C quatre forces égales dirigées suivant les

cotés AB, AD, CB, CD. Ou peut regarder comme évident

Fig. i. que les forces égales appliquées

en A donnent une résultante dirigée suivant la bissectrice AC de l'angle BAD, et que les forces *>* c appliquées en C donnent une ré-

sultante égale et directement opposée à la première. Le système reste donc en équilibre sous Faction des quatre forces.

\ \ . Cela posé, soit f une commune mesure aux forces P et Q, et admettons, pour fixer les idées, que l'on ait

partageons AB en 4 parties égales et AC en 3 parties égales p. « entre elles et par conséquent

^ j ^ égales aux premières. Menons

EH, FI, GR parallèles à AC, et MS, LN parallèles à AB.

O/— //— y/-j/ Nous ne troublerons pas l'état

du système en appliquant aux sommets L et E, M et F, C et G, H et B, I et N, K et S des losanges LE, MF, CG, HB, IN, KS, et suivant les côtés de ces losanges, des forces égales àf. Mais les forces égales et contraires appliquées aux extrémités des droites HE, IF, KG, MS, LN se détruisent. Donc il ne reste que 4 forces égales à y dirigées suivant CD, et 3 forces égales à y dirigées suivant BD. Les quatre premières se composent en une seule égale à P, que l'on peut supposer appliquée au point D, et de même les trois autres donnent une résultante égale à Q et appliquée au même point D.

Il résulte de là que le système des deux forces P et Q appliquées en A peut être remplacé par deux forces P et Q appliquées au point D.- Donc la résultante passe par le point D; mais elle passe déjà par le point A : donc elle est dirigée suivant AD. c. q. f. d.

r fl .1 K ,.

Fig. 4.

PREMIÈRE LEÇON. 5

Nous avons supposé que les forces P et Q étaient cornmensurables entre elles*, si elles étaient incommensurables, en employant un mode de raisonnement bien connu, on ferait voir que dans ce cas la résultante est encore dirigée suivant la diagonale AD.

12. Après avoir trouvé la direction de la résultante, il reste à montrer que sa grandeur est représentée par la longueur de la diagonale AD.

Imaginons une force AE égale à la résultante inconnue

et dirigée suivant le prolongement de la diagonale AD. Cette force fera équilibre aux forces P et Q. Par conséquent la résultante des forces P et AE sera dirigée dans le prolongement AF de la droite AC Or, d'après le numéro précédent, cette direction doit être celle de la diagonale du parallélogramme AEFB. Donc les deux triangles AEF, DAC seront égaux comme ayant un côté égal adjacent à deux angles égaux, savoir : EF = CD, puisque E3F = AB = CD ; les angles AFE et ACD égaux comme alternes internes^ les angles AEF et ADC égaux par la même raison. Donc AE = AD. Donc la diagonale représente bien T intensité de la résultante.

Fig. 5.

COMPOSITIOir DE PLUSIEURS FORCES COACOURÀKTES.