COS
Si l'on mène par le point une droite représentant en grandeur et en direction la vitesse du mobile, les composantes de celte vitesse seront représentées en grandeur et en direction par les arêtes d'un parallélipipède dont la vitesse du mobile serait la diagonale.
as. Soient a, b, c les coordonnées du point A où se trouve le mobile à l'origine des temps, et soient x,j; 2 celles du point M oli il se trouve au twut du temps i, le mouvement sera complètement représenté par les trois équations
226. Si les projections d'un point M sur Imis a-res Ox, 0^. 0«, S« meai'ent avec des vitesses constantes p, y, r, te mouvement da point M sera lui-même recliligne et unijormc,
1S1. De la 1
r CURVILIGNE. — Sojt H(.r,/, z) un point qui décrit dans l'espace une ligne courbe CMD. Si BU bout du temps t la force qui le sollicite cessait d'agir, le mobile prendrait, suivant une certaine droite MT, un mouvement uniforme dont y^ M H' !■ I la vitesse est /a uiVewerfa (Mï-
VyT bile au point M.
CÎ8. Le mouvement du point H est déterminé par trois équations ^=/('). x=t{t), ^ = + (0,
au moyen desquelles on peut obtenir la vitesse du mobile eu fonction du temps.
Les composantes de la vitesse siùfant les axes s'obliendronl en prenant les vitesses des projections sur ces axes, et l'on aura, daui le cas des aies rectangulaires,
DES UlTtEKES. 2S9
eu désignant par * la longueur d'un arc comptée sur la trajectoire à partir d'un point fixo. Cette deraière formule conviendrait encore si les axes étaient obliques.
229, S30. Quand ta force qui agit sur le mobile est variable , les formules précédentes subsistent.
331 , S32 , 233. Des forces qui phodcisent un mouvement DONNÉ. — La force qui produit le mouvenneot d'un point matériel dont la masse est m, étant représentée par P, et ses composantes par X, Y, Z, on a
"'"^-^' '"rfF-*' "'UF-^- Ces formules montrent que les projections du point mobile sur chaque axe se meuvent comme des points matériels de même masse sollicités uniquement par la composante de la force motrice suivant cet axe. Elles ne supposent pas les axes rectangulaires.
234. Si X, Y, Z représentaient les composantes de la force accélératrice, on aurait plus simplement
235. Si les coordonnées x, y, z sont données eu fonction du temps, deux dilférentiations feront connaître les composantes de la vitesse et celles de la force accélératrice.
236, Ordinairement on doit résoudre le problème inverse ; X, Y, Z sont des fonctions connues de t, et il faut, pour connaitre le mouvement du mobile, intégrer trois équations simultanées,
DIX-NEUVIEME LEÇON
SUITE d'un mouvement CURVILIGNE d'UN POINT HATËRIEI^
237. Point assdietii a se «ocvoir sur une coubbe donnée. — Fig. Bo. Considérons un point assujetti à se
mouvoir sur une ligne courbe donnée AMB et sollicité par la force P. La courtw donnée ou le lien qui force le point matériel à rester sur cette courbe exerce sur lui une certaine action qu'où appelle la résistance de ta courbe, et le point exerce sur la courbe une réaction ou pression égale et contraire.
STtfia.- me, 1. 19
390 TABLE AMLYTIQUE
Celte actioQ ou celte résistance de la courbe peut être décomposée en deuï forces, l'une dirigée suivant la tangente à la courbe, en sens contraire du mouvement, qu'on appelle le frottement, l'autre perpendiculaire à la tangente ou normale à la courbe. S'il n'y a pas de frottement, l'action N de la courbe sur le mobile est alors dirigée suivant une normale. £n désignant par j^, f, v les angles que la direction de ta force norniale N fait avec les ases rectangulaires, les équations du mouvement du point matériel seront
m — =X+Ncosl,
„î^=Y+Nco8f.,
m -^ =; Z + N COSï.
238. Si le point matériel est assujetti à demeurer sur une sur* fac« donnée, on aura les mêmes équations, N désignant la ré^slance delà surface.
239. MonvEBENTDES PROJECTILES nAss LE VIDE. — Soit A lepoint de départ d'un point matériel pesant, lancé a'
Fig.a
a direction AI. Prenons deux aies, l'un A/ vertical et dirigé en sens inverse de la pesanteur, l'autre horizontal Kx, mené dans le plan \ky.
Les équations différenlielles du mouvement se réduiront aux suivantes :
I rfC ~ ' dt' ^'
2iO. L'intégration donne
si' x = aCcoiXf jr^a'Sina— i^-
La projection du point mobile sur l'axe Ox se meut d'un mouvement uniforme dont la vitesse estucosi. La projection sur l'axe O7 se meut d'un mouvement uniformément relai-dé, comme ferait un mobile lancé de bas en haut avec une vitesse initiale égale à a sin a. m. On trouve
2i2. La courbe que décrit le mobile a pour équation, si l'on pose, pour simplifier, d'^%gh,
Cette trajectoire est une parabole, dont t'axe est vertical.
DES MATifcnES. agi
S43. Les coordonnées du sommet sont
AE = aAsinacosa, EC^Asin'a." SU. On a
AB = 4Asiazcos3.
La longueur àB est ce qu'on appelle X'ampUtude dajel. L'amplitude du jet a sa plus grande valeur quand a = 45 degrés, la vitesse initiale restant la même.
24S. L'angle a sous lequel il faut lancer un projecliledu poinl A,
pour qu'il allejgae un point donné (X, Y), est donné parla formule
langa=-^dz^v'4A'-4AY-X'.
Si l'on a
4/i'-4AY-X'>o,
le projectile pourra élre lancé dans deux directions différentes pour atteindre le point M. Si l'on a
4A'-4AY-X'=o, il n'existe plus qu'une seule direction donnée, et euBn le problème est impossible quand on a
4A'-4AY-X'<o.
246, 247. La courbe dont l'équation est
est une parabole L'HL, dont l'axe est dirigé suivant A^, et dont le sommet H est situé à la hauteur AH =h. Quand le point que l'on veut atteindre est dans l'intérieur de celte parabole, le mobile peut être lancé suivant deux directions différentes ; il n'y a plus qu'une seule direction convenable, si le point est sur la parabole mèpie; enfin quand ce point est hors de la courbe, le problème n'est plus possible.
218. L'enveloppe de toutes les paraboles du numéro précédent est la parabole HLM, lieu des pointe que le projectile ne peut atteindre que dans une seule direction.
VINGTIEME LEÇON
DES COllFOSAnTES DE tA FORCE BOTRICE.
249. DÉcoxPOsrnon de la force Hotbice en force tangbntielle; ET FORCE CENiBip^E. — Daos lo mouvement d'un point en ligue
agi TAGLE AMALTTIQDE
courbe, la force motrice se décompose à chaque instant en. deus forces : l'une, dirigée suivant la tangentR, est nommé* la force tangentielle; l'autre, dirigée suivant le rayon de courbure, se nomme la force centripète. &i désignant la première par T, la deuxième parQ, on aira
Le plan qui passe par la force motrice et par la tangente est le plan oscuiateur au point U.
250. Quand le point matériel est sollicité par plusieurs forces dont P est la résultante, on peut décomposer chacune des premières forces en dcun autres dirigées l'une suivant la tangente et l'autre perpendiculairement à celte tangente. Une force normale à la trajectoire n'inQuera pas sur l'accélération du mobile. Une force diri.^'ée suivant la tangente ne tendra pas à changer la direction du mobile.
251. Point assuj^ti a se kouvoib sdr vng codhbb DONNiB. FoRCB CENTfiiFUOG. — Un point M qui n'est actuellement sollicité par aucune force et qui ne se meut qu'en vertu de sa vitesse acquise, étant assujetti à demeurer sur la courbe ÂMB, parcourt sur la trajectoire des espaces égaux en temps égaux.
La pression exercée par le mobile M sur la courbe ou sur le lien
qui l'oblige à parcourir cette courbe, est égale à — ■ Cette force,
égale et contraire à la force centripète, est ce qu'on appelle \& force
centrifuge.
25â. Supposons en second lieu que le point M soit sollicité par Fin. 8j. une certaine force motrice P. Soit N
une force égale et contraire à la pression que le point M exerce sur la courbe. Décomposons la force P en deux autres T et Q, la première dirigée suivant la tangente, et la seconde située dansle pian normal delacourbe.
Soit F la résultante des deux forces Q
et N, situées toutes les deux dans le plan normal. La force F agira
suivant le rayon de courbure, et l'on aura
dt ' p
La force F, dirigée suivant le rayon duxercle osculateur et qui agit à chaque instant pour empêcher le mobile de s'écarter de la courbe
SES MATIÈRES. 3q3
suivant la langente, est la force centripète. La force F', ^ale et contraire à la force F, est égale à la/orcc centrifuge .
253, Si la force molrice était normale à la courbe, le mouvement serait uniforme.
Si la force motrice était dirigée suivant la tangente à la courbe, la force N se confondrait avec la force centripète et la pression exercée sur la xourbe par le mobile avec la force centrifuge F'.
