ÉNONCÉS
horizontale dont les projections sur i'ase des x et l'axe des y sont — 1 — ) et la surface du paraboloïde est dépolie: lieu des points oi^ le mobile est près de glisser dans le sens de la pesanteur. SG.
të. Plusieurs forces parallèles sont appliquées en dea-pointa donnés : montrer que, si l'un des points d'application se déplace suivant une certaine courbe, le centre des forces parallèles décrira une courbe homolhétique. Horloge magique. PJ.
16. Trois bomnies doivent porter une plaque homogène avant la forme d'un parallélogramme ABCD, A et C étant opposés ; un des hommes soutient la plaque par le sommet A : trouver sur CB et CD deux points tels que, si les deux aatree porteurs les soutiennent, les trois hommes seront également chargés. PJ.
17. Aux quatre sommets d'un tétraèdre on applique des forces parallèles et proportionnelles aux aires des faces opposées : point d'application de la résultante. SG.
18. Aux sommets d'un triangle ABC on applique trois forces parallèles respectivement égales : 1° à tangA, tangB, tangC; a" à
sinA sinB sinC . , , . ■
— ,, -T 1 — r; 7 > - — i r, ■ tfouvep Ic Centre des deux svs-
cosUcost cost.cosA cosAcosb ■'
tèmes de trois forces, le centre des six forces parallèles, et du résultat obtenu déduire que le centre du cercle circonscrit à ABC, le point de concours des hauteurs et celui des médianes sont en ligne droite. Applications de la Statique à la démonstration de théorèmes de Géométrie. SG.
19. Un vase hémisphérique très mince repose par sa partie convexe sur un plan horizontal et porte deux poids donnés aux extr^ mités de deux rayons perpendiculaires: position d'équilibre. SG.
20. Décomposer une force en troisforces parallèles appliquées en des points donnés. Où doit-on placer trois poids connus sur une circonférence pour que leur résultante soit appliquée au centre du cercle? SG.
21. Une table parfaitement rigideestporléeparplus de trois pieds qui reposent sur un plan horizontal indéformable : la table étant chargée d'un poids, déterminer les charges des dilTércnls pieds, en admettant que ceux-ci se raccourcissent de quantités très petites et proportionnelles à la charge qu'ils supportent. SG.
22. Le centre de gravité d'un polyèdre circonscrit à une sphère,
3ia ÉNOnctS de PBOBLfeMES,
le centre de gravité de la surface polyédrale et le centre de la sphère sont en ligne droite. PJ.
23. Centre de gravité d'un arc de sinusoïde, de l'arc qui forme une demi-boucle de la lemniscate de Bernoulli. PJ.
24. Centre de gravité d'un arc de cbaloette homogène, d'un arc decardioïde (/■■» a -t- a cos6), d'un arc d'hélice dont l'axe est l'aie des z et la densité représentée par e-"**. SG.
25. Déterminer une courbe plane passant par l'origine, de manière que la densité de l'arc soit représentée par nue fonction f(s), s étant la longueur de l'arc à partir de l'origine, et l'ordonnée du centre de gravité de cet arc entier s soit égale à ^(s)\ cas où /{,)-«,",,W-.^.- SG.
2S. Centre de gravité de l'aire comprise entre la cissoïde et son asymptote, de l'aire circonscrite par la courbe xy* = é'(a— -*), d'un secteur parabolique compris entre la courbe et deux rayons vecteurs issus du foyer, de l'aire comprise entre une branche de sinusoïde et l'aie des x. PJ.
27. Centre de gravité de l'aire comprise entre uq arc d'ellipse, le diamètre qui aboutit à une extrémité de l'arc et la corde conjuguée passant à l'autre eitrémité; en déduire le centre de gravité d'un segment parabolique. SG.
28. Centre de gravité d'une demi-boucle de ta lemniscate de Bernoulli. SG.
29. Déterminer une courbe plane telle que le centre de gravité de l'aire comprise entre la courbe, les aies et une ordonnée a: = h ait pour abscisse r ■ SG.
30. Établir la relation qui existe entre les aires de quatre triangles ayant pour bases les côtés d'un quadrilatère, et pour sommet commun le centre de gravité de i'aire du quadrilatère. SG.
31. Centre de gravité d'une zone de paraboloïde de révolution limitée par un plan perpendiculaire à l'axe, de la surface d'un hémisphère où la densité en chaque point est proportionnelle à sa distance à la base. PJ.
32. Considérons l'enveloppe de la surface représentée par l'équation
ÉNONCÉS DE PAOBLÈUES. 3l3
a et ^ étant deux paramètres liés par une relation donnée : le volume compris entre cette surface, le plan xy et un cylindre parallèle à l'axe des s anra un centre de gravité dont l'ordonnée sera la moitié de celle qui correspond à l'aire interceptée par le cylindre dans ta surface, PJ.
33. Centre de gravité d'une surface sphérique quelconque, triangle sphérique, surface de Viviani. SG.
34. Centre de gravité de la portion de l'aire du paraboloïde 2ï = 1-i- comprise entre les plans des zx et des zy et le cylindre 4+^= i. SG.
35. Centre de gravité du volume engendré par l'aire comprise entre une parabole, son a^ie et une ordonnée porpendicubire, qu'on fait tourner autour de la tangente au sommet. PJ.
36. Centre de gravité du volume engendré par la révolution: ]' d'une boucle de strophoïde autour de son axe ; 2° d'un segment comprisentre une parabole et deux rayons vecteurs, autour de l'axe de la parabole. SG,
37. Centre de gravité du volume compris entre les parties positives des plans coordonnés rectangulaires et les surfaces de deux cylindres
l! + 4 = ', ^+-! = '- (sa-)
38. Volume et centre de gravité de l'espace compris entre le plan des xy, celui des xz, le cylindre x*-\'y^ — ax = et la sphère ^■*-f-j*-i-a' = (ï>; la courbe d'intersection est la courbe de Viviani. SG.
39. 11 existe un grand nombre de solides terminés par deux faces planes parallèles et tels que l'aire d'une section parallèle à ces plans s'exprime par une fonction du second degré de sa distance à l'unedes ^ces; soient A la hauteur, B, 6', pies aires des faces et de la section moyenne : le volume est
et le rapport des distances du centre de gravité à la face B et à la face B' est celui de B'+a^àB + ap. SG.
3i4 ÉnoncËs de problèmes.
40. Centre de gravité du volume compris entre le plan des z. sphère a:* -h 7* + a« = a» et le paraboioïde j;' -»-/'= a" —
41. Centre de graiité du volume compris entre les parties positives des plans coordonnés rectangulaires et le paraboloïdo
^z = c{^-a){y—b). (PJ.)
it. ÂttraclioD d'une droite homogène sur un point, l'attraction étant en raison inverse du carré de la distance. SG.
43. Attraction d'un ellipsoïde sur un point intérieur ou extérieur, l'attraction s'exerçant en raison inverse de la quatrième puis* sance de la dislance. SG.
44. Toutes les molécules d'un hémisphère homogène sont douées d'un pouvoir attractif suivant la loi newtonienne : en quel point de l'axe de symétrie doit-on placer un point soumis à l'attraction pour qu'il reste en équilibre? PJ.
45. Déterminer la forme d'un solide de volume donné, de manière qu'il exerce sur un point donné une attraction matimum, l'attraction étant suivant la loi newtonienne. PJ.
46. La loi d'attraction de Newton est la seule avec laquelle une couche sphérique homogène soit sans action sur un point intérieur.-
SG
47. Trouver toutes les lois d'attraction qui ne dépendent que de la distance et avec lesquelles une sphère attire un point extérieur, comme si la masse était concentrée au centre, PJ.
48. Action d'un anneau sur un autre situé dans le plan du premier et passant par son centre ; l'attraction est réciproque an cube de la distance. SG.
49. Calculer le potentiel d'nne masse sphérique indéfinie oii la densité est e-' à la dislance r du centre. SG.
30. Un point est en équilibre au centre d'un octaèdre régulier dont les sis sommets ont des masses égales, et attirent proportionnellement à la puissance n de la dislance : calculer l'attraction subie par le mobile quand on l'écarle très peu de sa position d'é^quilibre, et dire pour quelles valeurs de n l'équilibre est stable ou non.
SG
SI. Un ellipsoïde de révolution homi^ne, légèrement aplati.
ÉNONCÉS DE PROBLÈMES. 3l5
exerce sur un point de sa surface une attraction représentée par un terme constant et un terme proportionnel au carré du sinus de la latitude : application à la Terre. PJ.
m. Considérons un ellipsoïde dont les axes sont assez peu différents pour qu'on néglige les quatrièmes puissances de l'excentricité des sections principales, et une sphère concentrique et de mSme volume: les deux solides, supposés homogènes et de même densité, exercent la même attraction sur les points d'intersection de leurs surfaces. PJ.
DTRAHIQlICd" Partie).
(A partir do la Xll° Lefon de Sturin.)
83. Un mobile est attiré vers un centre fixe par une force proportionnelle à la puissance n"™' de la distance : trouver la valeur de ff, telle que le mobile partant d'une distance inlînie arrive à la distance c du centre d'attraction avec la même vitesse qu'il aurait à la
distance - s'il était parti sans vitesse de la distance c PJ.
S4. Un point matériel attiré vers les quatre sommets d'un carré par des forces qui ne dépendent que de la distance est éloigné à une petite distance du centre sur une diagonale : durée des petites oscillations qu'il exécute. PJ.
K5. Mouvement d'un point tiré du ropos par une force émanant d'un centre fixe et réciproque au cube de la distance : la loi du mouvement peut-elle toujours être représentée par la même intégrale? SG.
56. Mouvement d'un point qui reste sur la droite joignant deux centres d'attraction et qui est attiré vers chacun d'eux suivant laloi uewtonienne ; application à un corps qui se mouvrait entre la Terre et la Lune. SG.
57. Mouvement d'un point attiré proportionnellement à la distance par un centre d'action qui se déplace d'un mouvement rcctiligne et uniformément accéléré; le point étudié est d'abord en repos. PJ.
88. Deux points ont un mouvement uniformément varié suivant deux droites quelconques; minimum de leur dislance. PJ.
3l6 ÉNONCÉS DE FKOBLÈHIiS.
99. Une bille parraitement élastique tombe d'une hanteur connue sur un plan horizontal : calculer la bauteur â taquelle elle rebondit après avoir toucbé n fois le plan, en admettant que Vaîr offre une résistance au mouvemenl proportionnelle au carréde la vitesse. PJ.
60. Mouvement rectil igné d'un point matériel attiré vers un centre fixe en raison inverse du cube de la distance; le centre est entouré d'une atmosphère dont la densité varie en raison inverse du cube de ia distance au centre, et qui présente une résistance proportionnelle à sa dett»té et au carré de la vitesse. PJ.
61. Mouvement rectiligne d'un point attiré proportionnellement à la distance vers un centre d'action qui se meut uniformément dans un milieu homogène dont la résistance est proportionnelle au carré de la vitesse. PJ.
62. Mouvement vertical d'un point pesant, en supposant la réeistance de l'air proportionnelle au cube delà vitesse. SG.
63. Un mobile se meut dans tm milieu homogène résistant en proportion du carré de la vitesse : délenniuer suivant quelle loi il doit être attiré vers un point fixe pour qu'il l'atteigne dans un temps conslant, quelle que soit la distance d'où il part sans vitesse. SG.
64. Étant donnés deux axes rectangulaires, un mobile M situé d'abord sur OX se meut de telle sorte que son ordonnée ainsi que l'angle MOX croissent proportionnellement au temps : délerminer la trajectoire, la tangente et le rayon de courbure en chaque point.
SG
65. Un point parcourt avec une vitesse coustante i° une lemniscate de Bernoulli, i' une loxodrome sphérique : déterminer l'accélération et le rayon de courbure en chaque point de la trajectoire. SG.
66. Démontrer qu'un point attiré vers les deux foyers d'une hyperbole suivant la loi de Newton peut décrire celle courbe si on lui suppose au sommet une vitesse convenable : déterminer la loi du mouvement correspondant. SG.
67. Quand un point décrit une trajectoire plane sous l'action d'une force toujours dirigée vers le centre de courbure de la développée, l'aire comprise entre la trajectoire, un rayon de courbure fixe, un autre variable et l'arc correspondant de déi'cloppée croit proportiauDellemenl au temps. SG.
68. Si la parabole décrite par un point pesant dans le vide coupe
ÉHONCÉS DE PROBLÈMES. Sl^
une droite en deux points A et B, les vitesses du mobile en ces deas
points, estimées suivant une perpendiculaire à AB, sont égales et de eens conlraires. PJ.
69. Un point décrit une parabole soua l'action de deux forces; l'une, perpendicuiaire à l'aie, est proportionnelle à la distance du mobile à cet axe; l'autre est parallèle à l'axe, maïs on demande de trouver sa vaieur, ainsi que la loi du mouvement. PJ.
70. Une bille parfaitement élastique est lancée avec une vitesse connue d'un certain point d'un plan incliné sur lequel elle rebondit en faisant des angles d'incidence et de réflexion égaux : trouver la dislance du r^™" point de rencontre au point de départ. PJ.
71. Un point décrit une ellipse sous l'action d'une Torce parallèle au petit axe ; grandeur de la force et loi du mouvement. PJ.
72. Mouvement d'un point attiré vers une droite fixe par une force inversement proportionnelle au carré de ladislance; la vitesse initiale est parallèle à la droite. SG.
73. Mouvement dedeus points qui s'attirent proportionnellement à la dislance, et dont l'un est libre, l'autre obligé de rester sur une droite fîtte. Cas où la masse du point libre est triple de celle du second, les vitesses initiales étant nulles, et la droite fixe exerçant un frottement. SG.
74. Mouvement d'un point M attiré en raison directe de la distance vers un centre d'action qui parcourt un cercle avec une vitesse angulaires; M ne sort pas du plan du cercle. Cas où l'attraction est égale à la distance multipliée paru* et oii M est d'abord immobile au centre du cercle. SG.
73. Un corps pesant est soumis à l'action d'une force variable, mais toujours tangcntielie : déterminer la grandeur de cette force de manière que la vitesse soit constante ; courbe décrite par le mobile.
SG
76. Mouvement d'un point pesant sur un plan incliné dépoli; discussion. SG.
77. Un mobile décrit une ellipse sous l'action d'une force toujours dirigée vers un point fixe du plan : calculer la loi de cette force ; cas particuliers. SG.
TS. Un point décrit la podaire, lieu des projections du centre d'une conique sur ses tangentes, sous l'action d'une force dirigée vers le centre : exprimer la valeur de celte force en fonction du rayon vecteur ; rayon de courbure de ia podaire. SG,
JtlS {.SOSCtS DE PnOBLÊUES.
79. Un point se meut de manière que sa vitesse soit proportionnelle à ia puissance n"™ de son rayon vecteur et que la vitesse aréolaire de ce rayon soit constante : étudier le mouvement. SG.
80. Ud point décrit une parabole sous l'action d'une force qui passeconsLamment aupoint de rencontre de la directrice et de l'axe: valeur de cette force, loi du mouvement. PJ.
81. Un point décrit une parabole sous l'action d'une force dirigée vers le foyer; à un moment donné, la force attractive se trouve doublée : déterminer la nouvelle trajectoire. PJ.
82. Un point matériel posé sur un plan horizontal poli est attaché à UD point Gxe de ce plan par un fil 1res mince qui peut s'allonger légèrement et exerce alors une traction proportionnelle à l'allongement. Le fil étant d'abord rectiligne, mais sans tension, on imprime au point mobile une vitesse perpendiculaire au fil : étudier le mouvement résultant. PI,
83. Un point est attiré vers un centre fixe par une force proportionnelle à la distance : étudier le lieu formé par sa trajectoire quand, la vitesse initiale ayant une grandeur connue, on lui donne toutes les directions comprises dans un certain plan. 3G.
81. Mouvement d'un point sollicité par deux forces émanant d'un centreGxe; l'une, attractive, est proportionnelle à la distance, l'autre, répulsive, en raison inverse du cube de c«tte distance. Cas où à l'instant initial ces deux forces se détruisent et où la vitesse est perpendiculaire au rayon vecteur. SG.
85. Un mobile est attiré vers un centre fixe avec une intensité fonction de la distance : trouver quelle doit être la forme la plus générale de cotte fonction pour que la trajectoire soit toujours une courbe fermée, quelle que soit la direction de la vitesse initiale, dont la grandeur doitseulement rester entre certaines limites. SG.
86. Déterminer la constante de l'attraction universelle d'après le mouvement planétaire; mouvement parabolique des comètes : l'intervalle de temps mis par une comète pour passer d'une positionà une autre peut s'exprimer en fonction de la distance de ces deux positions et des rayons vecteurs correspondants [théorème de Lambert). SG.
87. Dans le mouvement elliptique ou hyperbolique déterminé par l'attraction du foyer, l'intervalle de temps mis par le mobile pour passer d'une position à une autre peut s'exprimer au moyen de la distance des deux positions, des deux rayons vecteurs et de l'axe focal de l'orbite, PJ.
ÉKOHCÉ5 DE PROBLÈMES. Sig
88. Dans le mouvement elliptique, calculer la plus grande équatioa du cenlre, et, réciproquement, développer l'excentricité en série suivant les puissances de cette équation. PJ.
89. Mouvement d'un point attiré vers un centre fiKe par deux forces réciproques, l'une au carré, l'autre au cube de la dislance;
' quand cette seconde force est petite, la trajectoire peut s'obtenir en faisant décrire au mobile une ellipse qui tournerait autour de son foyer. PJ.
90. Un point pesant se meut dans un milieu dont la résistance est proportionnelle à la densité et au carré de la vitesse*, la trajectoire est une circonférence : trouver la loi du mouvement et celle de la variation de la densité du milieu. PJ.
91. Mouvement d'un point M attiré vers un centre avec une force— j-, où r = OM; la distance initiale est a, la vitesse initiale — fait l'angle aigu a avec la droite MO; enfin le point est entouré d'un milieu non homogène ezergant une résistance égale à iipi... SO.
93. Un point attiré vers un centre fixe en raison directe de la „<Bm puissance de la distance se meut dans un miliciu dont la résistance est proportionnelle à la densité et au carré de ta vitesse : sachant que la trajectoire est une circonférence qui passe au point attirant, trouver la loi de la, densité et celle du mouvement. PJ.
93. On peut considérer des accélérations d'ordre supérieur telles que l'accélération du (n — i )"•" ordre ait pour projections sur les axes
di" ' 'dî^'' rf("' on propose de calculer les projections de ces suraccélérations sur la tangente à la trajectoire, la normale principale, l'axe du plan osculateur. SG.
94. Mouvement d'un point de masse i assujetti à rester sur l'intersection des deux surfaces z'= aox, 9,j->= i6jm, et sollicité par une force dont les composantes rectangulaires sont
le point est d'abord k l'origine et lancé vers le haut et en avant du plan des xz avec la vitesse ai: SG.
3aO ÉHONCÉS DE PltOBLÈlIES.
95. Un point obligé de realer sur une spirale logarilhmique est attiré verslepûle par une force réciproque au carré de la distance: loi du mouvement, co étant nul. PJ.
96. Deux points pesants réonis par une tigerigide et sans massa sont obligés de rester sur deux droites situées dans le même plan vertical : petites oscillations du système quand on l'écarté légèrement de sa position d'équilibre. FJ.
97. On donne une série de courbes homothé tiques, par exemple une série de cycloïdes ayant un point de rebroussement commun, où elles admettent une même tangente qui est verticale; sur chacune de ces courbes on laisse tomber sans vitesse initiale un poiut pesant â partir du point commun : lieu des positions des divers mobiles à une même époque (courbe synchrone). PJ.
98. On donne une ellipse dont le grand axe est vertical et un point pespnt placé dans son intérieur à une extrémité du petit axe : déterminer avec quelle vitesse on doit le lancer pour qu'après s'être détaché de 1 ellipse il décrive un arc parabolique passant au centre de l'ellipse. PJ.
99. Un point assujetti à parcourir une ellipse est attiré vers le centre par uae force proportionnelle i la distance et vers les deux foyers par des forces réciproques au carré de la distance : montrer que la pression exercée sur la courbe est réciproque au rayon de courbure ; examiner la valeur initiale de la vitesse qui rendrait la pression toujours nulle et interpréter les trois parties dont se compose le carré de cette vitesse. SG.
100. Un point non pesant, assujetti à rester sur une circonférence, est attiré vers un poiut de cette courbe par une force fonction de la distance : déterminer cette fonction de manière que la pression exercée sur le cercle soil constante ; nature du mouvement produit.
SG
101 . On donne dans un plan vertical une cycloïde à base horizontale, tournant sa convexité vers le bas et engendrée par un cercle de rayon a\ un fU sans masse, de longueur 6a, est fixé par un bout au point de rebroussement de la cycloïde et porte à son autre extrémité une petite masse à laquelle on donne une vitesse horizontale v'Sff" i mouvement du système, tension du fil. SG.
lOS. Deux masses pesantes se meuvent sur un cercle vertical de manière que leurs vitesses au point le plus bas soient égales : montrer que la corde qui joint les positions simultanées des deux pen-
tttOSCÈ» DE PROBLEMES. 331
dules enveloppe un cercle; interprélation de l'int^rale de l'équation d'Etder donnée par Jacobi- Remarquer que, s'il existe un polygone inscrit i un cercle et circonscrit à un autre, ilen eii^ une ioGnité. SG.
103. Courbe sur laquelle il faut laisser glisser un point pesant pour qu'il descende de hauteurs égales dans des temps égaux; on donne la vitesse initiale, qu'on suppose dirigée verticalement. PJ.
104. Dn point pesant t-eçoît une vitesse horizontale connue et dirigée vers un point : quelle est la courbe sur laquelle gd doit l'obliger à rester pour que sa distance au point décroisse uniformément f PJ.
105. Sur quelle courbe doit-on faire mouvoir un point attiré vers un centre fixe proportionnellement à la distance pour que le rayon yectenr issu du centre attractif tourne uniformément T PJ.
106. Déterminer dans un plan vertical une courbe telle qu'un point pesant, obligé de la parcourir et lancé avec une vitesse a, exerce une pression proportionnelle à la /i"™ puissance de sa distance à l'horizontale située à la distance — au-dessus du point de départ. PJ.
107. Déterminer dans un plan vertical une courbe telle qu'un point pesant assujetti à la suivre exerce une pression proportioonelleàla composante normale du poids; cas d'intégrabilité. SG.
108. Déterminer dans un plan verlicai une courbe qui éprouve une pression constanle de la part d'un point pesant obligé de la suivre et animé d'abord d'une vitesse horizontale connue ; étudier complètement ta forme de la courbe. SG.
109. Trouver une courbe plane telle qu'un point obligé de la suivre, partant sans vitesse d'un point 0, mais attiré vers un centre connu proportionnelbment à la distance, arrive en un point quelconque M de la courbe dans le même temps que s'il s'était mû sur la droite OM. SG.
110. Déterminer sur une surface quelconque la courbe tautochrone pour un point sollicité par des forces connues : la composante langentielle de la force motrice doit être égale à la force qui produirait un mouvement rectiligne tautochrone. SG.
111. Déterminer dans un plan une courbe tautochrone pour un mobile attiré vers un point du plan en raison directe de la dislance ou en raison inverse de son carré. SG.
SlVM. V<c., 1. i<
322 ÉNONCÉS DE mOBLÈHBS.
lis. Délenniner dans un pltD vertical une conrbe tantochrone pour un point pesant qui éprouve de la part du milieu ambiant une résistance proportionnelle au carré de la vitesse. S6.
113. Étant donnés deux axes rectangulaires, dtierroiner dans leur plan les courbes tautochrones pour un point attiré vers OX par une force égale i ky ; l'extrémité des arcs parcourus est l'origine- PJ.
114. Quand on considère un mobile qui doit rester dans un plan et qui est sollicité par une force dont les composantes sont les dérivées partielles d'une même fonctiou, on peut, sans l'emploi du calcul des variations, démontrer que dans la bracbistochrone la pression exercée sur la courbe est double de la composante normale de la force motrice. SO.
115. Déterminer la brachistocbrone ; i° pour un point pesant; 3'pourunpoiDtmobiledansnnplanet attiré vers undesespoinlf' en raison inverse du carré de la distance. SG,
116. Calculer l'amplitude et la durée des petites oscillations d'un pendule circulaire en supposant la résistance de l'air en raison du carré de la vitesse. PJ.
117. Calculer l'expression la plus générale de la force tangentielle dans le mouvement tautochrone. FJ.
118. Déterminer dans un plan vertical une courbe téllo qu'un point pesant obligé de la suivre et éprouvant une résistance proportionnelle au carré de sa vitesse, après avoir été lancé d'un point de la courbe avec une vitesse convenable, arrive en un point quelconque avec une vitesse égale à celle qu'il acquerrait en tombant, dans le même milieu, d'une hauteur égale à l'arc qui le sépare d'uD second point fixé sur la courbe. PJ.
119. On donne une cycloTde dépolie dont l'axe est vertical et la convexité tournée vers le baut : déterminer !e mouvement d'un point pesant posé sur celte courbe et ayant au sommet une vitesse donnée; point où le mobile s'arrête ou s'écbappe. 5G. .
120. Mouvement d'un point pesant sur une hélice dépolie tracée sur un cylindre de révolution à aie vertical; discuter les divers cas d'après la vitesse initiale. SG.
121. Mouvement d'un point pesant obligé de rester sur un cylindre droit à axe vertical et attiré vers un point fixe par une force proportionnelle à la distance. SG.
tSOSCÉa DB FUOBLÈIIKS. 3x3
123. Houvement d'un point non pesant assujetti A rester sur la surface d'un cône droit et attiré vers l'ase par une force qui lui est perpendiculaire et varie en raison directe de la distance du mobile à l'axe. Cas où !e demi-angle du cûne est de 3o degrés, SG.
123. Mouvement d'un point pesant sur un paraboloïde de révolution dont l'aie est vertical et la convexité tournée vers le bas; la différence d'azimut d'un maximum et du minimum qui le suit eat >-; théorème acalogue de M. Puiseux sur le pendub; loi des petites oscillations. Tautocbrone sur la surface. SG.
121. D'un point pris à volonté sur un méridien d'une surlace de révolution à axe vertical, on lance un point pesant suivant la tangente au parallèle avec'une vitesse qui est fonction connue des coordonnée du point de départ. Déterminer la surface de manière que le mobile assujetti à rester dans son intérieur décrive toujours un parallèle. PJ.
125. Trouver une surface passant par une courbe donnée, une hélice par exemple, et telle qu'un point pesant parcoure cette courbe quand on le pose sur la surface, en un point de la courbe, et qu'on lui imprime une vitesse convenable. PJ.
126. Déterminer toutes les surfaces telles qu'un point pesant abandonné sans vitesse en un quelconque de leurs points et obligé de rester sur la surface glisse toujours Je long d'une ligne de plus grande pente. SG.
127. Trouverl'équationet la forme des lignes géodésiques l'sur une surface de révolutbn, 3° sur un ellipsoïde : une ligne géodésique est la trajectoire d'un point qui n'est soumis à aucune force extérieure. SG.
128. Le mouvement relatif d'un point est identique au mouvement absolu qu'il prendrait si aux forces qui agissent réellement sur lui on ajoutait ^deux forces Qctives : la première égale et de sens contraire à celle qui produirait le mouvement d'un point égal au point donné, coïncidant avec lui â l'époque considérée, mais ne bougeant plus par rapport au système de comparaison; la seconde est égale au double produit de la vitesse relative par la vitesse de rotation du mouvement d'entraînement et par le sinus de l'angle de la vitesse relative et de l'axe de la rotation ; elle est perpendiculaire à ces deux droites et à gauche de la première par rapport à la seconde. SG.
$34 £noircÉB de PKOBi-iMtt.
129. Un point pesant est asaujettt i te motivoir sar une courbe qui tanme autour d'une verticale avec une vitesse constante : déterminer la courbe de manière que le point se meuve suivant une loi donnée. PJ.'
130. Un point décrit une orbite connne sons faction d'une force émanant d'un centre fixe : quelle force faudrait-il adjoindre i la force donnée pour que, sans changer aui diverses époques la distance du mobile.au point 0, la vitesse angulaire de son rayon vecteur augmente seule dans une proportion constante et connue?
PJ.
131. Mouvement d'un point pesant assujetti à resUff sur niw droite qui tourne uniformément autour d'un axe vertical non sHné dans le même plan. PJ.
132. Même question en supposant l'axe de rotation horizontal.
133. One horizontale CÂ est liée invariablement A un axe vertical AB; à l'extrémité C s'articule une tige qui peut prendre toutes les directions dans le plan ABC, mais qui coupe AC et qui se termine par une boule très lourde ; forme d'équilibre quand le plan ABC tourne uniformément autour de Ait; condition pour que ce régulateur soit le plus sensible possible. S(3.
134. Mouvement d'un point pesant sur un plan incliné poli qui tourne uniformément autour d'un axe vertical. SG,
135. Un point attiré vers un centre par une force fonction de la distance se meut de manière à se trouver toujours sur une spirale logarithmique qui aurait son pâle en et tournerait alentour avec une vitesse angulaire constante dans ua plan horizontal : trouver la loi de la force et la nature de la trajectoire. SG.
136. Influence de la rotation de la Terre sur lo mouvement apparent des projectiles et sur le pendule ibérique. SG. PJ.
137. Mouvement d'un point posé sur un plan horizontal poli et attaché par une lige rigide et sans masse à un point qui parcourt uniformément un cercle du plan. PJ.
138. Oscillations d'un point pesant placé à l'intérieur d'un cylindre droit dont l'axe est dirigé suivant la tangente flu parallèle du lieu d'observation : on tient compte de la rotation do ta Terre.
