Considérons maintenant le cas de deux forces P

Fig. i6.

et P' parallèles et de sens contraires. Soient A, A' et C les points d'application des deux forces et de leur résultante. Po-

Menons CHH' parallèle à BEf, nous aurons

On dédnit de U

-PV.

Par conséquent, le moment de la résultante àe tteiix forces qui agissent en sens contraires est égal à la différence des moments de ces forces.

40. Enflu, considérons plusieurs forces, dont les mies, Fi,,. ,,, P, P', P", tirent dans un sens,

eties autres, P"*, P", tirent dans le sens opposé.

La composition des forces P, P', P" donnera une résultante

R, = P + P'-4-P' appliquée an point D, et l'on

ioïGoogle •

TBOISlkuB LEÇOM.

La composilioa des forces P"' et P" donnera une résultante

appliquée en E, et l'on aura

(2) R,.Ea=P''«"-l-P"î".

Donc, si R esi la résultante de toutes les forces, G son point d'application, et si l'on pose GK = £,, on aura, en supposant R, |> R,,

Ra.= R,.DI = R,.EH, ou bien

41 . On voit que ces deux équations rentrent dans les suivantes :

'^' ( Ra, = p8 4- P'a'4'P"î"-|-P a -l-P"z",

pourvu que, regardant comme positives les forces qui agissent dans un sens, on regarde comme négatives celles qui agissent dans le sens contraire. Â l'aide de cette convention, on peut dire, en général, que le moment de la résultante de plusieurs forces parallèles par rapport à un plan est égal à la somme algébrique des moments de ■ ces forces.

4â. Nous avons supposé jusqu'à présent que les points d'application des forces étaient situés du même c6té du plan xOy; mais cette restriction n'est pas nécessaire, et le théorème des moments a toujours lien eu regardant les

34 COTmS DB irtC&STQUE.

quantités désignées par 2, 2', z'\ . . .,z, comme positives pour despotnts situés d'uncertain côté du plan, et comme négatives pour des points situés du côté opposé.

En effet, les points A, A', A", . . . , auxquels sont appliquées les forces considérées, étant situés d'une manière ) quelconque, menons le plan

x^Qfy parallèle à xOj et à une distance 00' = A assez grande X pour que tous les points A, A',

t; A". . . . soient au-dessus du plan

y / x'O'y'. Alors si Z, Z', Z", . . . ,

" Z, désignent les distances, comp-

tées parallèlement à Oz, des points d'application, au plan x'Oy^ on aura

RZ, = PZ -l-P'Z'-f.p"Z"-!-.. -î

mais, à cause de It ;= ï' + F -H P" -I- . . - , on a

donc, en retranchant membre à membre,

R(Z,— A)^P{Z — h}-f-P{Z'—A) + P^(Z''~iy-^-.,..

Mais on sait qu'en ayant égard aux signes des coordonnées, on a toujours

donc on aura, dans tous les cas.

CALCUL DES COOKDONNÉES DU CENTRE DE TLUSIEUBS ponces FIRILLÈLES.

43. Si l'on applique le théorème des moments à trois plans coordonnés, on aura, pour déterminer la grandeur de la résultante R d'un système de forces parallèles, et

TBOISIÈHG lEçOW. sS

les coordonnées Xi,^,, Xi de son point d'application, les

quatre équations

IR*, =Px + V'x' + P''x" -r- . . ., B j-i — Pj -I- py + P V + • ■ ■ ) Ri, =Pï -l-P'i' + P"i" +

Quand les coordonnées sont obliques, on peut remplacer les x,y, z par les perpendiculaires abaissées des divers points sur les plans j'Oz, xOz, xOj; car cela revient à muliiplier chacune des équalious (a) par le siaus de l'angle que fait l'axe correspondant avec le plan des deux autres axes.

44. Si le plan xOjr était mené par le centre des forces parallèles, on aurait z, = o, et par suite Rzi, ou (3) Pî + P'i' + P''i" -(-... = o.

Donc la somme algébrique des moments d'un système de forces parallèles, par rapport à tout plan qui passe par le centre de ces forces, est nulle. Et réciproquement, si la somme algébritjue des moments d'un système de forces parallèles, par rapport à un plan, est nulle, ce plan contient le centre de ces forces, car de

Pï+P'e'4-P"z"-)-. . . = on déduit R z, -= o, et, par suite, z, z= o.

4o. Si le système des forces proposées se réduisait à un couple, on aurait R = o et

Ainsi, dans ce cas, il n'y a pas de résultante, comme on lésait déjà.

46. On peut encore déduire des formules ce fait, d'ailleurs évident parla construction géométrique, que si tous lea voints d'application sout dans un même plan, le ccn-

. 36 COUBS DE MÉCANIQUE.

tre des forces sera dans ce plan. En effet, si l'on prend ce plan pour plaa des xy^ on aura z ^ o, z' = o, . . . , et la troisième des formules (a) donnera Zj = o. On verra de même que si tous les poinls A, A', A", . . . sont sur une ligne droite, le centre des forces parallèles sera sur cette ligne.

ÉQUILIBRE DES FOItCES PAKILLÈLES.

47. La condition nécessaire et suffisante pour que plusieurs forces parallèles P, P', , P", , . . se fassent équilibre, est

*' T*' I que l'une d'elles, P par esem-

■ 11» !'■ * pIC) soit égale et direclemenl op-

posée à la résultante R' de toutes p '" les autres. Pour exprimer cette

Y couditiou par l'analyse, prenons

^ / trois ases, dont l'un OZ soit pa-

rallèle à la direction des forces.

La force P et la force R' se faisant équilibre, on doit

R'r^-P ou P + R' = OÎ

mais

Donc une première condition d' équilibre est quo l'on ait

Il faut, en outre, que les directions des forces P et R' coïncident, par conséquent que Vx et ly de leurs points d'application soient les mêmes. Or, si a et |3 sont les coordonnées du point K, où est appliquée la force R', on doit avoir (43)

R'p = py+PV'' -+-■■■•

Mais Duisque « = x, |3 = j', R' = — P, il en résulte

TKOISlilIB LEÇOK. %~

ces deux nouvelles équations d'équilibre

(2) Vx-i-V'^-^V^-^.. =0,

(3) Vx ■+■ PV+ PV-i- . =0.

4S. Réciproquement, si les condilipiis (i), (s) et (3) sont remplies, la force P sera égale ei directeoient opposée à la résuliante R' des autres forces, et il y aura équilibre.

49. Ainsi les conditions nécessaires et suffisantes poor qu'il y ait équilibre sont données par les trois équations

(4) ( Px+PV-l-P'^'H-- .^-o,

f Pj--i-P'/ +?"/' + .-- = ".

On les énonce ordinairement en disant que la somme algébrique des forces doit être nulle, et que la somme algébrique des moments des forces, par rapport à deux plans parallèles à leur direction, doit être nulle pour chacun de ces daux plans.

îtO. Quand le système renferme un point fixe O, les forces proposées ne peuvent pas, dans le cas de l'équilibre, se réduire à un couple. En elfet, si l'équilibre existe, le point O éprouve une certaine pression, déterminée de grandeur, de direction et de sens. Par conséquent, si l'on remplaçait la fixité du point O par une force L égale et directement opposée à cette pression, il devrait y avoir encore équilibre; donc un couple et une force unique se détruiraient, ce qui est absurde.

Il résulte de là que, dans le cas d'un point fixe, les forces doivent avoir une résultante unique, dont la direction passe par le point fixe,' sans quoi cette furce et la force L ne pourraient se faire équilibre. Cette condition est d'ailleurs suffisante.

Or, si l'on prend le point fixe pour origine et l'axe

aS COURS DE HÉC&niQVB.

des z parallèle à la direclioa des forces, la résultante des forces devaut être dirigée suivant cet axe, ses moments, par rapport aux plans zOx et zOjr, devront être nuls, et par conséquent on aura

( Pj -(- vy + p"j-" -h . . . = o.

Dans ce cas les conditions d'équilibre se réduisent à deux.

Si le point fixe était le centre des forces parallèles, ces conditions seraient remplies d'elles-mêmes. Par conséquent l'équilibre existe dans un système de forces parallèles quand on fixe le centre de ces forces, ce qui est d'ailleurs évident

QUATRIEME LE^OH. 31

QUATRIÈME LEÇON