P=DC

On prend pour unité de poids le poids de i centimètre cube d'eau distillée, à son maximum de densité, c'est-àdire à la température de ^",1.. Le poids d'un corps varie avec le lieu où il est placé; mais, comme les poids de tous les corps varient dans le même rapport, le poids d*uu corps quelconque exprimé eu grammes est le même partout.

QVlTRlfeMB LÏÇOH. 3l

55. Quand un corps n'est pas homogène, on nomnif densité moyenne le rapport du poids de ce corps à son volume. On appelle densité, en un point M de ce corps, la limite vers laquelle tend la densité moyenne d'un volume de matière tout autour du point M, quand ce volume tend vers zéro. La densité d'un corps non homogène est ordinairement une fonction continue des coordonnées de ses différents points.

CENTRE UE GKAVITË d'uN ASSEMBLAGE UE COItPS.

56. Quand on connaît les poids et les centres de gravité de plusieurs corps liés entre eux d'une manière invariable, on peut trouver le centre de gravité de leur ensemble, soit par la composition successive des poids de ces corps, soit par le théorème des moments.

Soient A (j^tj", i), A'(x', y', z'), A" [x", y",x"),,.. les centres de gravité de différents corps, dont les poids sont p, p', p",.... Nommons P le poids total et x,, y„ z, les coordonnées du centre de gravi té du système ; on a (4^j ) Ci) v=j--i-p'+p''-i-...,

IPx, =:p3- -hp'-x' ■+- p" x" -J- , . , Pî, ^ps Jrp'^^^-z"-'.-..., équations qui font connaître P, Xi^ jt et Zi-

Quand les corps sont homogènes, on peut, dans les égalités précédentes, substituer les volumes aux poids correspondants.

57. Si l'un des plans coordonnés, par exemple le plan des xyy contient le centre de gravité, alors 2, =o, et l'on a

c'est-à-dire que la somme des moments des poids, par rapport à tout plan passant par le centre de gravité du système, est égale à zéro.

COi:itS DE MÉCANIQUE.

pnOPRIËTÉS DU CEKTItZ I

^. Soient A(x,y,z), \'(x',y,z'), A''(x'',j'',z''),... les centres de gravité de plusieurs corps dont les poids sont lespeclivemeiit p, p', p",..., et O le centre de graxdlé du système de ces poids-, posons OK = r,OK=r\OS!'=r",...:

si l'on applique suit'ant OA, OA', OA", . . . fies forces pr, p'r\ p'r",, ■ ■ , ces forces referont équilibre.

Ed elTet, menons par le point O trois axes rectangulaires. Puisque le plan iO 7' passe parle centre de gravité, on aura (57)

(i) px + p'af-\-p"^A-.. . = a.

Or on a

st, a', a", . . . ôiant les angles que OA, OA', OA", . . . font avec l'axe des x; donc

(2) prcoia. + ]^ r' cosa' + p" r" cosa' + . . .= 0.

Mais^rcoscc, p'r'cosa', p'r" coset",. . . sont les composantes des forces /T, p'r',.. . estimées suivant l'axe Oj:. Donc, comme la sotnme algébrique de ces composantes est nulle, quelle que soit la direction de cet axe, les forces pr, p'r', .... appliquées suivant OA, OA', . . . , se font équilibre (22).

59. On conclut de là que, si les poids appliqués en A. A', A", . . . sont égaux, des forces appliquées au point O et représentées par les droites OA, OA', OA",. . . se font équilibre.

60. Réciproquement, si des forces appliquées en un même point O, et représentées, en grandeur et endirec-

(jUATnttiME LEÇON. 33

tion, parOA =r,OA' = r\ 0A" = r",..., se font équilibre, des corps ayant tous des poids égaux à p, et leurs centres de gravité aux points Â, A', A",. . . , Jbrmeront un système dont le centre de gravité sera au point O.

Ed effet, puisque les forces se font équilibre, on a

(i) /■Cw« + r'coSa'-(-/-"coSa"-i-. . . = o;

par suite

{a) prcosa -h pr' cota' -i- pr" cota' -r . . . = 0,

OU bien

px -\-p:^ -\-p3^-^ . . .^=o.

Mais si P désigne le poids du système, et Xt, yi, x, les coordonnées du centre de gravité, le premier membre de la dernière équation est égal à Pxi. Donc

On démontrerait de même que l'on a

donc le point O est le centre de gravité du système.