De la dernière formule on tire

p^+//i-'' -H //■"'-+-... ~Prl-i.l(pp''ÂÂ''+pp''Zr"'+..) .

QUAiniÈMB LEÇON. 35

Quand le point O se déplace, le terme PrJ varie seul dans le second membre ; on en conclut que l'expression

/ir' + /.'7-"-t-^"r"'-^...

atteint sa plus petite valeur quand r-, = o, c'est-à-dire quand le poiiil O coïncide avec le centre de gravité du système, et que cette expression a la même valeur pour tous les points de la surface d'une spbère, ayant le point G pour centre.

CEHTKE DE GKAVITÉ DES LIGNES.

63. Les lignes et le^ surfaces que l'on considère eu géométrie n'ont aucun poids ; mais on peut supposer que ces figures soient chaînées d'une multitude de points matériels pesants, ou, ce qui revient au même, que tous leurs points géomélriques soient sollicités par de petites forces parallèles. Le centre de ces forces sera, par définition, lecenire de gravité de la ligne ou de la surface considérée.

Une ligne est homogène quand des parties de cette ligne égales en longueur sont sollicitées par des résistantes égales ou des poids égaux. De même, une surface sera homogène lorsque des portions égales de celte surface atuont des poids égaux.

64. Pour trouver le centre de gravité d'une ligne homogène CD, il suffit d'exprimer que le moment du poids de celte ligne, par rapport à trois plans quelconques, est égal à la somme des moments des poids des éléments linéaires qui composent celte ligne, par rapport aux mêmes plans.

FiQ. M. Soient CMD ^ / la longueur

de l'arc entier, M (x, y, z) un point quelconque de cette ligne, ei posons

CM = j, MM' = i*.

On a d'abord, entre des limites

convenables,

Le moment de l'ëlément MM' = As, par rapport aa plan xy, est Aî(r-f-a), a devenant nul en même temps que As. En effet, on peut supposer que le point M'(:r -t- Ax, y ■+- Ay, z + Az) soit assez rapproché du point M pour que l'arc MM' soit entièrement compris entre deux plans parallèles à xOj, menés par les points M et M'; par suite, le z du centre de gravité de ce petit arc sera compris entre z et z -t- Az. On pourra donc le représenter par z -^ a, et étant moindre que Az.

Donc, si l'on désigne par x^^yi^, z, les coordonnées du point G, centre de gravité de CD, on aura

(i) /i, =:2»Aï+2ai,t,

de quelque manière que la courbe soit partagée. Cette équation a donc encore lieu quand les éléments analogues à MM' sont iniiniment petits et leur nombre infini. Mais on sait que

limSa&i = o, limZzAj =; lïrf.ij donc

(2) fe, = \t.ds.

On opérera de la même manière par rapport aux plans xOzet yOz, de telle sorte que les coordonnées du point G seront déterminées par les trois formules

(3) te, =: \xds, ix, = Çjdi, tz, = /erfj,

ces trois intégrales étant prises entre des limites qui correspondent aux extrémités C et D de l'arc proposé.

65. Si la courbe est plane, on peut prendre son plaa pour celui des xy, et alors z, = o. On n'a donc plus

QUATRIEME LEÇOV. 3^

beioÎD qne des formules

(4) ix, — f^ ds, /y, = jxdt.

66. On peut encore parvenir aux formules (3) en consîdërant la ligne CD comme la limite d'une ligne polygonale et hom(^Qe qui lui aérait inscrite.

Eu effet, on peut admettre comme évident que le centre de gravité d'une droite homogène est au milieu de sa longueur. Le moment de la droite MM', par rapport an plan xOy, sera donc