LIGNE DROITE
67. Comme exemple de ce qui précède, cherchons le centre de gravité d'un segment de droite.
Appelant a, 6, c les coordonnées du point C\a,^,y\es angles que la droite fait avec les axes, et CM = 5 la longueur comprise sur la droite entre le point C et un point quelconque M (x,^, z) de celte droite : il est facile de voir que celle-ci est déterminée par les trois équations X = a -h Jcosa, y ::^ b + JCOS6, » = r -I- tcosy.
Or, en appelant l la longueur CD du segment, on a d'abord
/*, = 1 xdt = I ads ~h I sdicaii.
Cette intégrale indéfinie est
fc| =:as H — cosa.
Nous ne mettons pas de constante, parce que le moment Ixi doit être nul pour s = o. Cette intégrale devant
CtKQVlkME LEÇOIT.
£tre prise de J = o à ^ = /, on a
-Icmet;
z, =^c -{ — Icosy,
Le centre de gravita G, ainsi déterminé, est le milieu de CD : car les équations (i), eu y faisant s ^ -î donnent, pour les coordonnées du point milieu dç CD,
«=^<n-i/co»a,
r=.b-i--lemt.
ARC OE CEKCLE.
. Le centre de gravité de l'arc de cercle BAC est évidemment situé sur la droite OA, qui passe par le centre du cercle et par le milieu de l'arc.
Prenons donc OA pour axe des X, et une perpendiculaire O^ pour axe des^.
Posons
Ok = a, BAC=:'. AM =
4o CODKS DE MÉCIHIQOB.
On a
« = OP = o cosMOP = a coï -i donc
( i) ix, --- j xds = j acot — cU,
I aeot-iit = a'iia — hC, J a a '
Or
donc
, a aa 2(1
Donc si l'on désigne par c la corde BC, on aura (») *. = 7-
Ainsi, la disfnnce OG /iw centre de gravité de Varc au centre du cercle est une quatrième proportionnelle à Farc, à sa corde et au rayon.
. L'équation différentielle de la cycloïde rappor- Fig. 35. tée aux axes Kx et
A.y est, comme on
sait [Cours fyse. 248)
fjna.
dx^
a étant le diamètre du cercle générateur. Pour déterminer le centre de gravité de l'arc CM, compté à partir du sommet, prenons pour ase des j" la tangente au sommet, et pour sxe des x' la perpendiculaire Cx'. Posons
CIHQVlkUE LEÇOH.
Oui
d'où'
dx = -dy', Jr = -,u.
et, en Eupprimant les accents,
Soit CM = /. On aura
dx\fâ
c'est-à-dire
L'abscisse X| se calculera par la formule
Jo Jo ^
donc
On a ensiûte
/..^Pa^aJ^I
et, en intégrant par parties,
43 covKS DE iitcmninE.
Or, pour X = o, ou a ^, = o, donc
d'où, en divisant par / = a \Jâx ,
(5) y.^ = y + ^{[a-xy-^].
70. Si l'on veut avoir le centre de gravité de l'arc CA, on fera, dans les formules précédentes,
et l'on aura (6)
l'équation d'une parabole rapportée à son axe et à la tangente au sommet; soit / la longueur de l'arc ÂM, et nommons encore ar,,^i les coordonnées du centre de gravité de cet arc. On a (Cours d'Analyse, 408)
et les coordonnées du centre de gravité de l'arc AM se détermineront par les formules
ciiTQTttkHE Leçon. 43
Cherchons d'abord Iji. Puisque
on a
Or, pour y = o, on a
/=:o et ly,=o; donc
et enfin
d'où Ton déduira jt en divisant les deux membres par /, dont la Tsleur est connue.
Pour obtenir :ri, on partira de l'éqnatioa
En achevant l'int^ration iadiquéc, on arrivera à la formule
44 CODBS DE MËCAKIQOB.
CENTBE SB GEAVITÊ DES SURFACES.
72. Soient M (x,/, z), M'(x-i- Ax,y-hAy, z-i-ùs) Fig. 17. deux points voisins pris sur une
" surface rapportée à trois axes
rectangulaires ; soit cd l'élément de surface MmM'm' intercepté entre quatre plans, parallèles deux à deux aux plans zOx et
Quand les accroissemenis Ax et 4/sont inÛDimeal petits,&] devient i/xdy ^n-p*-H(/*, p et désienant les dérivées partielles — et — -; on aura donc
où X représente une quantité qui devient nulle à la limite. Le z du rentre de gravité de MmM'm' peut être représenté par z -i- S, 6 devenant nul en même temps que ^x et &y, car ce point est compris entre deux plans parallèles au plan des xj- menés par le point le plus haut et par te point le plus bas de l'élément MmM'm'. Dès lors le moment de l'élément par rapport au plan 3^0^ est
I ^l -1- ;)'-!- 7' A j; A/ -F 7 Aa; ij-, y élant une quantité qui s'évanouit avec ^:i; et ùy, Sî l'on décompose de la même manière toute la surface considérée, eu appelant X l'aire de cette snrface et Xt, Yd ^t les coordonnées de son cenire de gravité, on aura
(a)' Is, = lit }/i-i-p'-]- ij' lxAj-+ ïl7A*i/.
Or, puisque cette équation subsiste, quels que soient Ax et Ay, elle sera encore vraie quand ces accroisse-
CIHQUIEHB LEÇOK.
ments seront in6niment petits. Mais alors
clone enfÎQ
(3) Ur-
limïï^i^ij- =0,
-ff-^
-p'+q'dxdy
EnopérantdecetteiDanîèreparrapport aux trois plans coordonnés, on auraj pour déterminer les inconnues x,, ji, z,, les équations
ù tenant la place de ^
9* dx dy. On a d'ailleurs
73. Quant aux limites de ces diverses intégrales, elles sont faciles à assigaer. Si
sont les valeurs de y correspondant à deux points qui, SOT la projection du contour de la surface sur le plan xj , ont le même x, il faudra intégrer d'abord par rapport à y, en considérant x comme une constante, depuis ^ = (f [x) jusqu'à y = ^ (x). On intégrera ensuite par rapport à x, depuis x = a jusqu'à x = ^, en supposant que
soient les équations des plans menés parallèlement au plan des zy^ par les points extrêmes du contour, a ëiaat moindre que b.
CEKTKB DE GRAVITÉ DES FIGIlnBS fL&HES.
74. Les formules (4) se simpHnent lorsque la surface est plane. Si l'on prend ]e plan de cette figure pour plan des xy, on aura
et les formules (4) et (5) se réduisent aux suivantes :
1*. = f fxdtdy, lj.= j l ydxdy.
75. C'est ce que l'on peut d'ailleurs trouver directeo ment. En effet, soient jr et y'
p les ordonnées des courbes CD
et CD*, correspondant à une même abscisse, et posons OA=a, OB==ô.
On a d'abord
Maintenant si , par les points infiniment voisins M(a:,j') et W {x -\- dx, y ->r dy) pris sur la surface, on mène HH' et KK' parallèles à l'axe O^, on formera une tranche HKH'K' qui différera infiniment peu du rectangle HH'I'I obtenu en menant HI et H'I' parallèles àOx.
Le centre de gravité g de cette tranche est infiniment voisin du centre de gravité du rectangle, et par suite du milieu de HH'. On peut donc, en négligeant des quantités
infiniment petites, prendre x et -
- pour les coor-
CIirQlllfelIE LEÇOH. 4?
données du cenlre de gravité de la tranche HKK'H'; or celte tranche a pour mesure (y — y') dx. Donc son moment par rapport à O^est [y — y')xdx, et son moment par rapport à Ox est - [y* — y'*) dx, ce qui donne
formules qui reviennent à celles qu'on a trouvées plus haut (74).
Cette démonstration pourrait être rendue tout à fait rigoureuse par la méthode des limites.
ÂPPLICÀTIO^S. TKIANCLB.
76. Prenons deux axes rectangulaires Ax, hy, passant par le sommet A, et dont l'un Kx soit perpendiculaire au côté BC. Soit AD = A. Nommons Xi et y, les coordonnées du centre de gravité Gj et X la surface ABC. Soient (i) x = mx, x' = in'x
les équations des droites AB et AC. On aura
Fis- 19.
cl*où l'on conclut
JM
48 COtIBS OT. MiCiHIQDE
Or le point F, milieu de BC, a pour coordona^cs
donc le centre de gravité du triangln ABC est sur la ligne médiane AF et aux ■= de cette ligne à partir du sommet.
PÀUBOLB.
T7. Soit (î) x' — 2px
l'équation de la parabole rapportée à son axe et h la tao- Fie. ia. geate au sommet. Proposons-
nous de trouver le centre de gravité du segment OAD. Comme la courbe dont l'ordonnée élait désignée par j''dans le cas général se confond avec l'ase des x, on ajr' =: o, et les formules générales {7) et (8) du n' 73 se réduisent à
On aura donc
1*,^/ ^3p.a^ dx^i-gX'^apx,
Far conséquent
CtnqviEHE LCÇOS.
R CIUCULAIHK.
78. Le point cherché est sur la droite AO, r|ui passa Vif. 3i. par le milieu de l'arc 6C et qui
partage le secteur en deux parties symétriques. Il ne reste dout pIusqu'àtrouverladistanceOG.
Imaginons que l'on ait inscrit dans l'arc BC une ligne polygonale régulière, et que l'on ait joint les sommets au centre. On aura un secteur polygonal compose de triangles égaux, et dont le centre de gravité coïncidera avec le centre de gravité d'une ligne polygonale régulière inscrite dans l'arc B'C décrit d'un rayon OA' égal
à -^OA. Ce résultat, indépendant du nombre des divisions de l'arc BC, conviendra encore lorsqu'on passera à la limite; d'où résulte que le point cherché G sera le centre de gravité de l'arc B'A'C. Soient OA = a, BC = c, BAC = /,
Oi'.R'C ^ 3 OG =- = »
ou bien
De là il est aisé de conclure le centre de graTité du segment BAC, puisqu'on connaît ceux du secteur OBAC • t du inangle BOC.
