Au contraire, si le point attiré est extérieur à la
ioyGpOgle
sphère, l'attraction exercée sur ce point sera réciproquement proportionnelle au carre de sa distance au
que l'attraciion a sa plus grande valeur quand a = c, c'est-à-dire quand le point est à la surface de la sphère cl que cette attraction est nulle pour a = o ainsi que poor tt^^<*i ,ce qu'il ^tait facile de reconnaïtie à priori.
ATIBICTION de deux SPBÈit£S.
122. Soient deux sphères de rayons a et £ et dont les centres soient k une dislance c l'un de l'autre.
Tous les points matériels de la première sphère attirent une molécule de la seconde comme s'ils étaient réunis au centre de la première. On peut donc remplacer celle-ci
par un point matériel de masse ^ r.pa'. L'attraction exercée par la seconde sphère sur ce point matériel étant la
centre, il en résulte que l'attraction mutuelle des deux sphères sera égale à
Ainsi deux sphères homogènes (ou composées de couches homogènes dont la densité varie d'une couche à l'autre) s'attirent comme deux molécules de même masse placées à leurs centres respectiTs.
FORMDLES GÉKÉnlLES.
i23. L'atlractiou exercée par un point M (x, y, z) de masse dm sur un point O (a, €, y) dont la masse est fi
NEUVIEME LEÇON
est égale à
etlescomposantesdecetteaitraction ëlémen taire, parallèles aux axes de coordonnées, sont
Ml--) .,
en regardant ces composantes comme positives quand elles tendent à diminuer les coordonnées du point attiré.
Pour avoir les composantes A, B, C de ratiractîon totale exercée par tous les points du corps attirant, il faudra intégrer les expressions précédentes dans toute l'étendue de ce corps. On aura ainsi
124. Pour rendre l'intégration plus facile, transportons l'origine au point attiré et désignons par g, h, l les angles que la droite OM fait avec tes axes de coordonnées. On a
Prenons en même temps des coordonnées polaires u, Cf, i^ liées aux angles g, h, l par les formules
I cosg'^cose,
j cosA = sinecos>|<,
( ces A ^^sinSsin^
86 conss DE HÉciniQrE.
[ce qa'oD voit «n faisant u ou r = i (105)]. D'ailleurs on a
dm = paMasm9rf9(/^'-
On aura donc
I A:^— /ftl / I fciyigdttsin9d%d^,
(3) I B = — /[» r rrpcosArfMsinederfiJ-,
I C = — /(i Ç Ç ÇfcoihdutÀaididif.
Si le point O est intérieur, il faut intégrer par rapport à u depuis u = o jusqu'à u ^ R, R désignant le rayon vecteur terminé à la surface du corps ; par rapport à 9, depuis 6= ojusqu'àd= n; par rapport à ^, depuis^ =: o jusqu'à iji = an.
KÉDVCTIOir DES INTÉGRALES GÉnËRALES 1 UIIE SEULE.
123. Les intégrales comprises dans les formules (i) peuvent être ramenées à la seule intégrale triple
étendue à toute la masse du corps.
En effet, puisque
on aura
1 ■'i" JJJ i^ '
SEUVIEUE LEÇON.
par suite (123)
Ainsi tout le calcul se réduit à la déteriDinatîon de la fonction V.
PnOPItlËTÉS DE LA FONCTIOM V.
1^. Si le point attiré est extérieur, la difTérentielle — ne devient pas inGnie dans les limites de l'intégration. On peut donc appliquer les règles de la différentiation sous le signe à l'intégrale définie
et l'on en tirera . rf'V
Mais H cause de
88 COVnS OB MÉCADIQUe.
Od conclut de cette dernière égalité
att' fl6' d-f
Le second membre de réquation (a) est donc nul, et 'on a
l'oi
rf'V rf'V rf'V
127. Si le point attiré est intérieur, on part des formules (6) du n" 123; en les différentiant on a
d^V d'V d'Y i(^ !lB dC\
OU, en vertu des formules (3) du u" i24,
d^y d^\ ~d^ "*" If
d'V d'V d'V d rrr . ^^ ,^ ^,
=: — I I I pcosgiiaidudBd-y
coiksinO du d 9 d^
Si l'on eflectue les difTérentiations en appliquant les règles relatives au cas où les limites d'intégration sont variables, on trouve
d'V d'V rf'V a a' ab' a-/'
