Si deux forces P e( Q sont représentées en gran

deur et en direction parles deux ''*' '■ cotés contigus AB et AC du pa~

rallélogramme ABCI), la résultante R de ces deux forces sera représentée en grandeur et en direction par la diagonale AD de ce parallélogramme, en sorte que les composantes et la résultante peuvent être représentées par les trois côtés du triangle ABD.

Pour démontrer ce théorème, nous commencerons par faire voir que la résultante est dirigée suivant la diagonale AD, en nous appuyant sur le lemme suivant : Soit on losange ABCD, de forme invariable : appliquons

4 cocus DE MËCANIQOE.

aux pointa A et C quatre forces égales dirigées suivant les

côtés AB, AD, CB, CD. On peut regarder comme évident

Fij. a. que les forces égales appliquées

j g en A donnent une résultante di-

^ 7 rigée suivant la bissectrice AC

/ ,/ de l'angle BAD, et que les forces

i> « appliquéesen Cdonneniuneré-

sultante égale et directement opposée à la première. Le

système reste donc en équilibre sous l'action des quatre

forces.

11. Cela posé, soil/" une commune mesure aux forces P et Q, et admettons, pour fixer les idées, que l'on ait

partageons AR en quatre parties égales et AC en trois parties égales entre elles et par con- II séquent égales aux premières.

f !r'f~:Qj^ Menons EH, FI, GK parallèles *r'pnJ^ à AC, et MS, LN parallèles à AB.

fZJi—ll—ll^l Nous ne troublerons pas l'état

du système en appliquant aux sommets L ei E, M et F, C et G, H et B, I et N, K et S des losanges LE, MF, CG, HB, IN, KS, et suivant les côtés de ces losanges, des forces égales ïf. Mais les forces égales et contraires appliquées aux extrémités des droites HE, IF, KG, MS, LN se détruisent. Donc il ne reste que quatre forces égales à y dirigées suivant CD, et trois forces égales ày dirigées suivant BD, Les quatre premières se composent en une seule égale à P, que l'on peut supposer appliquée au point D, et de même les trois autres donnent une résultante égale à Q et appliquée au même point D. 11 résulte de là que le système des denx forces P et Q appliquées en A peut être remplacé par deux forces P et Q appliquées au point D. Donc la résultante passe par le point D; mais elle passe déjà par le point A : donc elle est dirigée suivant AD. c. q. f. d.

PREHltRE lEÇOM. 5

Nous avons supposé que les forces P et Q étaient com mensurables entre elles; si elles étaient incommensurables, en employant un mode de raisonnement bien connu, on ferait voir que dans ce cas la résultante est encore dirigée suivant la diagonale AD.

i2. Après avoir trouvé la direction de la résultante, il reste à montrer que sa grandeur est représentée par la longueur de la diagonale AD.

Imaginons une force AE égale à ]b résultante inconnue et dirigée suivant le pro-

Fig.4.

longement de la diagonale AD. Cette force fera équilibre aux forces P et Q. Par t la résultante des

conséquen

forces P et AE sera dirigée dans le prolongement AF de la droite AC. Or, d'après le numéro précédent, cette direction doit être celle de la diagonale du parallélogramme AEFB. Donc les deux triangles AËF, DAC seront égaux comme ayant un côté égal adjacent à deux angles égaux, savoir : EF = CD, puisque EF = AB = CD; les angles AFE et ACD égaux comme atiernes-iaternes; les anglus AEF et ADC égaux par la même raison. Donc AE^ AD. Donc la diagonale représente bien l'intensité delà résultante.

Fie- 5.