PENDULE SIMPLE

HoDTemcnt d'un point psjani sur une courbe. — Cas où il y a une vites initiale. — Pendule. — Équation du mouvement. — Cas oii celte équ. tion peut s'inléerot. — Cas des petites oacillalion».

HOUVEUEHT O VS POINT

SDK UHE COITSIBE.

277. Lorsqu'un point pesant se meut sur une courbe donnée AMA', la seule force

Fig. 93.

qui le

pesa

leur, dont l'intensité con^Unte est désignée par g. Le travail de celle force est mgz, et le principe des forces vives donne immédiatement

en supposant que f^^k pour z = OH = h.

Supposons A = o, c'est-à-dire que le mobile parte du point A sans vitesse acquise, Téquation deviendra

Si ie mobile est en M, on aura

DP^i

s mobile au point M sera la

donc la vitesse acquise par l

même que s'il était tombé librement de la banlenr HP.

Si B est le point le plus bas de la courbe, le mobile aura la plus grande vitesse en ce point. Parvenu là, il continuera sa route en vertu de la vitesse acquise, et

3oa COURS DE hécjLNIQvb.

s'élevant sur la partie BC avec un vitesse décroissante, comme le montre la formule (a), il s'ari-étera au point A', pour lequel z = h. Mais aussitôt, sollîcilé par la pesanteur, il descendra de nouveau sur la courbe pour revenir au point A, et ainsi de suite; c'est-à-dire qu'il parcourra coniinuellemeiii le même arc ABÂ', tani6t dans un sens, tantôt dans un autre.

278. Le temps employé par le mobile pour parcourir l'arc AM est le môme, soit qu'il descende, soit qu'il monte, car si l'eu considère un élémeni rectiligne ds de cet arc, comme la vitesse du mobile est la même en valeur absolue, quand il est placé à la même bautcur, le temps employé pour parcourir le petit plan incliné ds sera aussi le mâme, soit que le mobile descende, soit qu'il monte.

CAS ou LE HOBILE A UNE VITESSE IBITIALE.

279. Si au point A, pour lequel s = h, le mobile a une vitesse X:, on a

(!) ^=A'4-ae(«-A).

La vitesse du mobile va eu croissant avec z et est la plus grande possible au point B. Le mobile se meut ensuite sur l'arc BCO et s'y élève plus haut que le point A'.

Prenons pour origine des coordonnées le point O le plus élevé de la courbe. Nous aurons trois cas à examiner.

Premier cas ; A* <[ a^A- — Dans ce cas la vitesse du mobile au point A est moindre que celle qu'il acquerrait en tombant verlicalemcnt de la hauteur OH;=/i. Le mobile s'élèvera jusqu'à un point C plus haut que A' et qui sera déterminé par l'équation

= Ql — k-

affA-

TIBGT-nEUXIÈME LEÇOS. 3o3

valeur positive. En ce point C la vitesse sera nulle-, le mobile s'arrêtera pour revenir sur l'arc CBC jusqu'au point C situé à la même hauteur que C. Ue C il reviendra en C, et ainsi de suite; de sorte qu'il fera une infinité d'oscillations isochrones.

Deuxième cas : k > ^a gh. — La vitesse du mobile ne sera jamais nulle, car on aura

équation dont le second membre est composé de deux quantités positives. Le mobile reviendra au point O avec la vitesse <Jk* — a gA> dépassera ce point et parcourra la courbe une infinité de fois, toujours dans le même sens.

Troisième cas : k = y/^gh. — On aura z = o pour c ^ o ; le mobile ne s'arrêtera qu'au point O, mais il lu! faudra un temps infini pour arriver à ce point. En efTet, en désignant par s l'arc ON, on a

V étant l'angle que la normale au point N fait avec la verticale el p le rayon de courbure en ce point, on a

Soit a une constante, telle que

3o4 couns DE HÉcAnrQus.

Par coDséqueni l'équation {3) doune l'inégalité

d'où, en intégram,

OU enCo

d'où l'on conclut que t augmente indéfiniment quand s tend vers zéro.

PEUDULB. ÉQUATION DU HOVVEMENT.

280. On appelle pendule un corps solide pesant qui peutosciller autour d'un axe horizoutal. Four simplifier la théorie du pendule, on a considéré le cas idéal d'un point matériel suspendu à l'extrémité d'une tige ou d'un fil inextensible et sans masse et dont l'autre extrémité est âze. C'est ce qu'on nomme un pendule simple.

On voit d'abord que la pesanteur ne peut faire parcourir à ce pendule écarté de la verticale qu'un arc de cercle situé dans un plan vertical.

Plaçons l'origine des coordonnées au point de suspension O : prenons l'axe des z vertical et dirigé dans le sens de la pesanteur. Sôît k la vitesse du point matériel alors que la direction du fil fait avec la verticale un angle AOz = a. L'équa* tion du mouvement sera