SDITE DE LA MÉTHODE DU PENDULE SIMPLE

Aatre mélhode. — Développement en série de la durée d'une oscilla lion. Pendule cjcloldal. — Ttiulochroiie dans le viiie. — Pendule ilmpli) dans un millen resisUnl.

AUTRE baÉTBODE.

288. Noas allons donner la théorie du pendule par une méthode qui pourra s'appliquer au cas où cet appareil Pig. g8. eut sollicité par une force quel-

conque ou lorsqu'il éprouve la résistance d'nn milieu.

Les mêmes notations (280) diant conservées, soit m la masse du point moLile. L'action de la pesanteur peut se décomposer en deux autres : une force normale détruite par la résistance du point fixe et une force tangentielle. Ciiiie dernière, représentée en général par m—, a pour valeur mg sin6. On a donc

Posons ÂM = s, on aura

rff -

913 COunS DE KÉCKSIQVE.

l'équalion du mouvement sera donc

ou encore

^ ' df a

Multiplions par ^dO et initîgioiis, il vient

mais on doit avoir en même temps

donc (3)

équation déjà obtenue, et dans laquelle on doit prendre le signe — ou le signe +, selon que le mobile se meut dans le sens ABA' ou dans le sens opposé.

Pour obtenir la durée d'une oscillation, nous cliangt!rous de variable. Soient

* = I — cos S, on en déduit

et par conséquent, en prenant le signe — dans la formule (3),

,4) * = -îv1

'Si-x-i/i-

TlSCT-TBOISlfeME LEÇON. itZ

mais le temps T d'une oscillation étant le double du temps (jue le mobile emploie à parvenir au pointle plus Las, on aura, puisque les valeurs de x qui correspondent aux positions  et B sont b eto.

-Vîi:-

DÉT£L0PPBueKT ES SÉKIB .

289. L'intégrale précédente ne pouyant pas s'exprimer sous forme Unie à l'aide de fonctions algébriques, circulaires ou exponentielles, nous allons la développer en série. On a d'abord

série convergente, puisque x représenUnt i — cosS est moindre que a.

Par conséquent, on aura

En posant

\ibx~;r>

ai4 COtinS DE MÉCAHIQOB.

on pourra écrire

fk l I A, 1.3 A. 1.5.3 A, \

290. On sait, par la théorie des intégrales binômes, que toutes les îiilégrales définies Â,, Ai...., se ramènent à ^<i. Cette rédaction peut se faii-e directement de la manière suivante. On a

^=^. ./ÎTITTÏ-. ^--(ft-2^)^

d.3?-^^ibx—^ =

( 2 n — 1 ) i.r«-' rfjr — 2 n*" dlj

donc

-'dx ixrdx

yjbx — x' ^bx — x»

d'où, en intégrant entre les limites o et &,

0= (2n — i)6A,,— iflA,, donc

On aura de même et par suite

Il suffit donc de déterminer A<, ou / --■ ■ ■

J„ \Jbx — jc'

tingt-thoisièmb leçoh.

= =ian:cos — 7—*,

donc on aura

' rfj7

v/tx - X.

Par conséquent

i.=,.' *,=ii

et par suite

Telle est ta formule qui donne la durëe d'une oscillation pour une amplitude quelconque.

291. Quand l'amplitude est très-petile, S:=i — cosa peut être négligé, et l'on retrouve la formule approchée

Si, remplaçant & par i — cosa ou 1 =—7 +...,

' ir • ir 2 i.a.3.4

on négligeait dans l'expression les puissances de a supérieures à la seconde, on trouverait

Ainsi la durée de l'oscillation dépend de l'amplitude et augmente avec cette quantité.

PEI«DULE CYCLOÏDAL.

292. Considérons le mouvement d'un point pesant sur unecjcIoïdeCBC renversée, située dans un plan vertical et dont Taxe BD est vertical.

Fig. 99.

H6 COCItS DE MÉCANIQtlE.

Prenons pour axes de coordonnées l'ase Bx et la tangente tt/au sommet B. Soit  le point de départ du mobile où nous suppose ronssa vitesse nulle, et soit M[x, J-) sa position à une époque quelconque t.

7*^ Soit a le diamèire BD du cercle générateur. Le5 composantes de la force accélératrice étant X = -~g, T = o, Z-o, l'équation générale du mouvement (i) rf»J = — igdi,

d'où

Si BH = A, on doit avoir o = C — ngh : donc

Soit maintenant BM = j, on a s^^ ^ax^nhx en appelant b le rayon de courbure BK = 3 BD de la cycloïde au point B. Il en résulte

pour X •=: A , d'où

eb = ^

av'^

Comme dans la première oscillation f = — — 1 on en déduit, à cause de c = ^3g{A— x),

t /é rfjr

"2 Vi./ÂF^^'

TIHGT-TROISlklIS LEÇON. 317

Intégrant et déterminant U constante par la condition que Ton ait à la fois t^ o etx==h,i\ vient

,4, ,=iy^.„„.îf^.

293, Le temps que le mobile emploie à descendre de A en B s'obtient en faisant :r= o dans celte formule. En appelant T la durée d'une oscillation, on aura

- arccos( — i), d'oà (5, T=Vi

On obtiendrait encore ce résultat en faisant x^= h dans la formule (4) et en prenant 27r pour are cos (i).

Ainsi, dans la cycloïde, la durée des oscillations est rigoureusement indépendante de leur amplitude, et différents mobiles, partis au même instant, sans vitesse initiale, de divers points de cette courbe, atteindraient au même instant le point le plus bas. Le temps d'une oscillation est ^t/'i c'est la durée des oscillations très-petites du pendule sïmplt; dont la longueur est b, rayon de courbure de la cycloïde au point 6, ce qui -s'accorde avec ce qu'on a dit des petites oscillations d'un point pesant sur une courbe quelconque.

294. On pourrait imaginer un pendule dans lequel les oscillations s'effectueraient toujours dans le même temps, malgré Tinégalité de leurs amplitudes. Construisons la développée de la cyclmde, composée des deux moitiés KC et KG' d'une cycloïdc égale à ta première. Supposons qu'un point pesant soit attaclié à l'extrémité d'un lîl lié par son autre extrémité au point K. Si le mobile, dans une de ses positions, se trouve surlacyloïdeCBC, comme le fil, abandonné à lui-même, restera toujours tangent à

9l8 COCBS DE HtCANIQUE.

CKC, son exlrémité M décrira la cycloïde CBC. Toutes les oscillalioDS devront s'effectuer dans ud même temps

égal k ic i/~i mais c^ moyen, proposé par Huyghens, a

ëlé abandonné, parce qu'il n'offre aucune précision dans la pratique.