On appelle tautochrone toute ligne courbe sur

laquelle un point pesant abandonné sans vitesse initiale

d'un point quelconque de celle

courbe parvient dans le même

V~ -^ temps au point le plus bas. La

cycloïde est donc une courbe uniocbrone (293). Kous allons faire voir que c'est la seule courbe tautocbroiie dans le vide.

Si l'on appelle t' le temps nécessaire pour décrire AB,

et il s'agit de déterminer s en fonction de x, de manière que la valeur de ï' ^/a^ soît indépendante de h.

Supposons * développée en série suivant les puissances ascendantes de x ;

(2) * = A^"-i-Bx^-i-Cx''-f....'

.Comme s ex x ont leur origine au point B, et qu'on a j = o pour a: = o, il faut que tous les exposants soient positifs et qu'aucun ne soit o. Le plus petit a doit être

moindre que l'imité; car en B on a -r- = o ou -7- = 00 . ^ ' ds dx

Substituant la valeur de s dans (1), on aura

ï'^2g^A« / - — rfr+Rg

TIHGT-TBOISIEUE LEÇON.

et, en faisant X = hu.

Cette quantité doit être indépendante de A : il faut donc que le plus petit exposant de A ou ec soit nul, puisque s'il était positif on aurait T = o pour A := o, et s'il était négatif on aurait T== oo pour la même hypothèse. Les autres termes doivent disparaître; donc

et par suite

-, = i'yl-'

L'éqoalion s= A\fx appartient à une cycloïde. Donc la cycloïde est la seule courbe tautochrone dans le vide.

Autrement,

, si dans l'équation (i)

on pose

S30 COCUS DE HÉCinIQIIE.

on aura

Cette exprfissîon devra être indépendante de h. Posom X =■ hu, il en résulte

ou bien

» -C\it,\ *'

en posant

Donc

Or-jT- doit élre nul. IlfautdoQcqae<{''(Au) oai|''(j:) = oî

car autrement ou pourrait prendre h assez petit pour que de x = o à x= A, if''(''^) fût toujours de même signe, et alors l'intégrale, ayant tous ses éléments de même signe, lie serait pas nulle. Ou a donc

fW = o

Donc

= >^^âx,

équation

d'une cycloïde.

TINGT-TROISlkHB LEÇON. 221