Réciproquement, les planètes attirent le soleil

VIHOT-SIXtklIE LEÇOH. a>f9

En efîet, pour toutes les forces (]ue nous voyons agira la surface de la terre, Taction produite est toujours accompagnée d'une réaction égale et contraire. Ainsi, un aimant fixe jouît de la propriété d'attirer un morceau de fer doux, parfaitement libre; réciproquement, si le fer est 6xe et Taimant libre, il viendra s'appliquer sur le fer. L'expérience prouve que ces deux attractions dirigées en sens inverses sont égales, car si l'aimani et le morceau de fer doux étaient unis entre eux par une tige rigide et inextensible, le système ne prendrait aucun mouvement dans l'espace. On a d'ailleurs un très-grand nombre d'exemples de ce fait, de sorte qu'en étendant, par analogie, cette toi aux mouvements des corps célestes, on en conclut que les planètes, étant attirées par le soleil, celui-ci, réciproquement, est attiré par elles suivant la même loi.

327, Cette attraction réciproque est proportionnelle à la masse de cbacun des deux corps qui s'attirent. Il résulte, en elfet, de la troisième loi de Kepler, que, si deux planètes étaient placées, sans vitesse initiale, à la même distance du centre du soleil, elles parcourraient, en ligne droite, des espaces égaux pendant le même temps. On conclu! de là que les forces motrices des planètes sont proportionnelles à leurs niasses. Par conséquent, si on suppose la masse d'une planète partagée en une infinité de molécules égales en masse, toutes ces molécules seront attirées vers le soleil, par des forces que l'on pourra regarder comme égales et parallèles, en raison des petites dimensions «le la planète, comparées à la distance qui sépare cette dernière du soleil. Réciproquement, les molécules du soleil, égales en masse, sont attirées, suivant la même loi, par celles des planètes, et l'on est ainsi conduit à celle loi générale de la nature : Deux molécules matérielles quelconques s'attirent, en raison directe de leurs masses et en raison inverse du carré de leur distance.

aSo £ODRS DB «ËCAlflQCB,

En admeitant ce principe, si l'on appelle y l'attraction réciproque de deux molécules matérielles, placées â

l'unité de dislance l'une de l'autre, — -j— sera l' attraction

qu'exerceront l'une sur l'autre deux molécules matérielles ayant des masses m et m' et dont la distance est r.

Il suit de là que l'expression — - — pourra aussi être appliquée à l'attraction exercée par le soleil sur une planète et réciproquement : d'abord, parce que les dimensions de chacun de ces corps étant très-petites, par rapport à la distance qui les sépare, une molécule de la planète et une du soleil peuvent toujours être regardées comme placées aux extrémités de droites égales et parallèles; et ensuite parce que le soleil et une planète quelconque peuvent être avec une approximation sufûsante considérés comme formés de coucbes spbériques homogènes, ce qui fait que l'attraction totale exercée par un de ces corps sur l'autre est la même que si la masse de chaque corps était réunie à son centre de gravité.

VÉRIFICATION Oe LA LOI OB l'ATTR ACTION

328. La pesanteur des corps, à la surface de la terre, doit être regardée comme un cas particulier de la gravitation universelle, puisqu'elle résulte de l'attraction exercée par toute la masse du globe sur les différents points matériels d'un corps quelconque. De plus on remarque que le poids d'un corps dépend de sa postlion et de sa masse, mais nullement de sa nature, propriété commune à la pesanteur et à l'attraction universelle.

Quand un corps pesant s'éloigne de plus en plus du centre O de la terre, au delà de sa surface, l'attraction de la terre sur ce corps doit diminuer en raison inverse du carré de la distance du centre O' de ce corps au centre de la terre. Si le point O' est le centre de la lune, par

VIHGT-SIXIÈHB LEÇOM. aSi

exemple, la pesanteur diminuée dans le rapport du carré de la distance OCX au carré de O A devra être la force mo- Fîg. 107. triée de notre satellite, à chaque

instant. Admettons, pour plus de simplicité, que l'orbite lunaire soit une circonférence de cercle. Dans cette hypothèse, on doit regarder la vitesse de la lune comme constante. Il faut donc que la force centrifuge de la lune soit précisément égale à la pesanteur diminuée dans le rapport de OA =r' à OO' = p*. Dans ce calcul approximatif, on a p=:6or. Appelons F la force centrifuge de l'uuité de masse de la

lune. On aura F = ^-^> T étant le temps qu'elle met à faire une révolution autour de ta terre. Par conséquent ,

4'r'X60f |gOirX2Trr I20w X 4° 000000"* .

d'ailleurs,

Donc enfin

y t?offX 40000000 *^-(t>oJ-^ (39343)'

Calculant parlogarithmeslecoefScient ",- g,,., «

on trouve, en a'arrétant aux centièmes, qu'il est égal à 9i8i, c'est-à-dire à très-peu près égal kg. On peut donc écrire

ce qu'il s'agissait de vérifier.

COURS DE UëCÀNlQrE.

IfOUVEMENT IBSOLU ET RELATIF DE DEUX COUPS QUI s'ATTIBEKT,

329. Il résulte du principe de l'attraction ou gravïtation universelle, que si M et m sont les masses respectives du soleil et d'une planète, r la distance de leurs centres de gravité, et /* le coefficient de l'attraction universelle,

— ~ est la mesure de l'attraction qu'un de ces deux

corps exerce sur l'autre. Par suite, abstraction faite de

toute auire cause, - — t

forces accélératrices de la planète et du soleil, et, comme elles sont en raison inverse des masses de ces deui corps, on en conclut que, s'ils n'avaienl aucune vitesse initiale, ils viendraient se réunir sur la droite qui joint leurs centres au centre de gravité du système de ces deux corps, lequel point partage celte droite en deux parties réciproquement proportionnelles à leurs masses. Pour le faire voir plus clairement, appelons S et J les espaces rectilignes parcourus par le soleil et par la planète, jusqu'à leur point de rencontre. On aura

iit' ~^ r' ' de /■' ' d'où résulte

iU lit

et enfin

MS = m>.

Il n'y a pas de constante à ajouter, car on suppose que

VINGT>SIXIÈHE t-EÇOH. a53

te soleil «t la planète partent eo même temps, saiis vitesse initiale. De l'équation MS = nw, on déduit

ce qui démontre la proposition énoncée.

330. Si l'on veut obtenir le mouvement relatif d'une planète autour du soleil, c'est-à-dire le mouvement apparent de cette planète pour un observateur placé à la surface du soleil, il faudra supposer appliquée au centre de gravité du soleil une force égale et contraire à celle qui le fait mouvoir dans l'espace, afin de pouvoir le considérer comme fixe; mais, en même temps, afin de ne pas altérer le mouvement de la planète par rapport au soleil, il faudra aussi regarder une force égale et parallèle a celte dernière comme appliquée au centre de gravité de la planète. Par conséquent, ce dernier point seia constamment sollicité par une force dirigée vers le centre du soleil , et égale à

fVL^fm

en appelant ft le coefSoient ^(M + m) constant pour toutes les positions de la planète. Ce fait est encore une conséquence du calcul , comme nous allons l'établir. Supposons les masses du soleil et de la planète concentrées à leurs centres de gravité, M (x,, yi, z,) et m {x,jr, z) ces deux points étant rapportés à trois a\es rectangulaires quelconques, mais fixes dans l'espace. Le point M décrira dans son mouvement une certaiue courbe AMB, et le point m une courbe amb. Menons maintenant par le point M, h

364 COVnS DB HËCAirtQVtS.

l'insunt considéré, trois axes rec langui aires parallèles à Ox, Oy et 0^, et supposons que le point M, dam son mouvement, emporte ces axes parallèlement à euxmêmes avec lui. Appelons ^, fi el ^ les coordonnées variables du point M, par rapport à ces axes dont la position varie à chaque instant.

En concevant que le point M et par suite les axes qui passent par ce point soient fixes, ^ , ïi et f se rapporteront à la trajectoire apparente du point m. Or on a d'abord (i) x = x,+i, j- = /, + fl, a = ï, -j- Ç.

A l'aide de ces équations, sî l'on connaît le mouvement absolu de M et le mouvement relatif de m, on a le mouvement absolu de m, et vice vend, si l'on connaît les mouvements absolus de M et de m, on aura le mouvement relatif de m autour de M.

Afin de bien concevoir ce mouvement apparent de la planète, imaginons que d'un point fixe K de l'espace on mène des droites Km,, Km',,. . ., égales et parallèles aux droites Mm, M'm', ..., qui joignent les positions simultanées successives des points M et m, sur les courbes que ces deux points décrivent. Il est clair que m,, Tn'i,..., seront les positions apparentes de m, telles qu'on les observerait du point fixe M, si M était en K et que trti m\ sera la courbe apparente que décrira le point m,

331 Revenons maintenant aux équations (i) pour en déduire la vitesse de m sur la trajectoire apparente. En les différen liant, on a

1 de ~ ~dt "^ m^

] dy dy, di,

TfNGT-SIXri^MB LEÇOK. 355

dx dy rfz (/jr, dy^ dz. , „

j: '■;:;:*' t: dune pan, — -, -^ « — de l'auire,

dt dt dt '^ ^ de dt dt '

3ont les composantes parallèles aux axes des vitesses des

points M et m, à l'instant considéré sur les courbes AMB

et amb, —, -^ et — sont aussi les composantes parallèles aux axes de la vitesse du point m sur la trajectoire apparente. Donc cette dernière vitesse pourra être déterminée par ses composantes, au moyen des équations (2], lorsque les mouvements absolus des points M et TTi seront connus. On peut aussi l'ottenir par la construction suivante.

Soient MA et niB des droites, représentant en grandeur et en direction les vitesses absolues des points M et m fi- ,og. à l'instant en question. Me-

„ nons la droite mC, égaleet pa-

rallèle à MA , mais dirigée en sens contraire. Je dis que la diagonale mD du parallélogramme niBDC représentera la vitesse apparente en grandeur et en direction. En eiTet, projetons les trois points m, D, B en m', d' et b' sur l'axe Oj:. La projection m'd' de mD est égale à la somme algébrique des projections des deux autres càtés, en supposant qu'on parcoure le triangle mBD dans le sens /nBD, et regardant comme positives les projections allant de O vers x et comme négatives celles qui vont dans le sens opposé. Or

, , , dx ,1 dx,

Il suit de là que, sur un axe quelconque, mD a mime

a56 COURS de hëcanique.

projection que la vitesse apparente : donc mD représente

cette vitesse en grandeur et en direction.

tin dilTereniiaiit les équations ( 2) par rapport à e, on a

A l'aide de ces équations, on démontre comme précédemment que si les forces accélératrices des points M et m sont représentées en grandeur et en direction par MA et par/nB, et si l'on mène niC égale et parallèle à MA, mais dirigée en sens contraire, la force accélératrice, répondant au mouvement apparent, et qui a pour com-

rf'5 rf'n </'& , , ,

posantes -— > ——> — — j sera représentée, en grandeur et

en direction, p»r la diagonale mD du parallélogramme mBDC.

B.éciproquemeut , si l'on connaissait le mouvement absolu du point M et le mouvement apparent de m, on verrait aisément que la droite mF étant égale et parallèle à Mâ, la diagonale m6 du parallélogramme mFBD représenterait en grandeur et en direction la vitesse ou la force accélératrice du mouvement absolu du point m.

332. Le centre de gravité du soleil et celui d'une planète sont sollicités par des forces motrices appliquées en sens contraires, suivant la droite qui unit ces deux

cédemment, M et m les masses du soleil et de la planète. Donc — j- et — — seront leurs forces accélératrices, et il

TIMGT-SISIÈHB LBÇOB. 357

résulte de la construction géométrique (331 ) que

sera, à chaque instant, la force accélératrice qui produirait le mourement apparent de la planète autour du soleil supposé fixe. On voit que cette force

en posant

varie en raison inverse du carré de la distance. Par conséquent, la trajectoire apparente de la planète est une section conique et par suite une ellipse, puisqu'elle ne s'éloigne jamais indéSniment du soleil.