DIFFÉRENTIELLE DE LA FORCE VIVE
260. P désigiianl la foice motrice qui sollicite un mobile M etX, Y, Z ses composantes, on a
(1 ni-—-:='X, /?2 — -^ = Y, «2 -7— = Z.
^ ' dt' dt' dt'
On tire de ces trois équations
m [ — ^^ = 2 (XfZr H- Yf/j + Zdz).
Mais la quantité entre parenthèses dans le premier membre est égale à d.v^\ on a donc
(7.) d.mv'- — 2 (Xû?.r -|- Xdy -f- 7.dz).
261. Cette équation subsiste, lorsque le point mobile est assujetti à rester sur une courbe ou sur une surface donnée. En efiet, si N est la force qui représente la résistance de la courbe ou de la surface, on a
ni
de-
= X ^ N cos)>.
dt'
= Y + N cosp,
dt'
= Z +NCOSVJ
1, fjL, V élant les angles que la normale suivant laquelle la force N est dirigée fait avec les axes. On tire de ces équations
dun>' = 2{Xdx-\- Ydj -\- Zdz)
-i- 2N [cosldx -+- cosy-dj- -h cosv dz);
mais puisque N est normale à la trajectoire, la dernière parenthèse est nulle. Celle équation se réduit donc à l'équation (2).
262. La quantité ?nw^, ou le produit de la masse d'un mobile par le carré de sa vitesse, est ce qu'on appelle la force vive du mobile. On a dans tous les cas
(4) d - mv" = -^dx -f- Y^;- 4- Zdz,
X, Y, Z étant les composantes de la force motrice.
AUTRES FORMES DE 'X.dx -\-Y (Jf -{- Xdz .
2G3. Soit 0) l'angle PMT que la force motrice P fait Fig. 89. avec la tangente. On
X dx Y dr Z dz
COSW = — • 1 1 — >
V ds P ds l^ ds
d'où l'on tire
(1) '^dx -Jf-Ydy -\-Zdz=:Vco?><àds.
Si l'on décompose la force P en une force tangentielle T et une force normale Q, on a T = P cosw. Donc
(2) ILdx + Ydy -^Zdz = Tds.
Enfin, si l'on appelle dp la projection MI de l'arc Mli =: ds sur la direction de la force motrice, on a
cosads = dp, et par suite
(3) Xdx-i-Ydj-hZdz = Pdp.
VINGT ET UNIÈME LEÇON. IpS
Ainsi l'expression ^dx + Y rfy -^ Zidz est égale : i° au produit de la force motrice P multipliée par l'élément de la trajectoire et par le cosinus de l'angle que cette force fait avec la tangente; 2° au produit de l'élément de l'arc multiplié par la force motrice estimée suivant la tangente 5 ?>° au produit de cette force motrice multipliée par la projection de l'élément de l'arc sur sa direction.
