RÎLGLE DU PARALLÉLOGRAMME DES FORCES
10. Si deux forces P e? Q sont représentées en grandeur et en direction par les deux côtés contigus AB et AC du parallélogramme ABCD, la résultante R de ces deux forces sera icprésentée en grandeur et en direction par la diagonale AD
de ce parallélogramme, eu sorte que les composantes et la résultante peuvent être représentées par les trois côtés du triangle ABD.
Pour démontrer ce théorème, nous commencerons par faire voir que la résultante est dirigée suivant la diagonale AD, en nous appuyant sur le lemme suivant :
Soit un losange ABCD, de forme invariable : appliquons
aux points A et C quatre forces égales dirigées suivant les côtés AB, AD, CB, CD. On peut regarder comme évident Fig.2. que les forces égales appliquées
^ g en Adonnent une résultante di-
// y rigée suivant la bissectrice AG
/ 1 de l'angle BAD, et que les forces
, D e appliquées en C donnent une ré-
sultante égale et directement opposée à la première. Le système reste donc en équilibre sous l'action des quatre forces.
11. Cela posé, soit y une commune mesure aux forces P et Q, et admettons, pour fixer les idées, que l'on ait
partageons AB en quatre parties égales et AC en trois par-
ties égales entre elles et par conséquent égales aux premières.
^nnrO° Menons EH, FI, GK parallèles "^M-j—hjs ^ ^(. g^^jg LN parallèles à AB.
llUl^iUiUl Nous ne troublerons pas l'état
du système en appliquant aux sommets L ei E, M et F, C et G, H et B, I et N, K et S des losanges LE, MF, CG, HB, IN, KS, et suivant les côtés de ces losanges, des forces égales af. Mais les forces égales et contraires appliqiiées aux extrémités des droites HE, IF, KG, MS, LN se détruisent. Donc il ne reste que quatre forces égales à^dirigées suivant CD, et trois forces égales ày^ dirigées suivant BD. Les quatre premières se compoîîent en une seule égale à P, que l'on peut supposer appliquée au point D, et de même les trois autres donnent une résultante égale à Q et appliquée au même point D. Il résulte de là que le système des deux forces P et Q appliquées en A peut être remplacé par deux forces P et Q appliquées au point D. Donc la résultante passe par le point D; mais elle passe déjà par le point A : donc elle est dirigée suivant AD. c. q. f. d.
Nous avons supposé que les forces P et Q étaient commensurables entre elles , si elles étaient incommensurables, en employant un mode de raisonnement bien connu, on ferait voir que dans ce cas la résultante est encore dirigée suivant la diagonale AD.
12. Après avoir trouvé la direction de la résultante, il reste à montrer que sa grandeur est représentée par la longueur de la diagonale AD.
Imaginons une force AE égale à la résultante inconnue
^. , et dirigée suivant le pro-
Fig. 4. .
longement de la diagonale
AD. Celte force fera équilibre aux forces P et Q. Par conséquent la résultante des forces P et AE sera dirigée dans le prolongement AF de la droite AC. Or, d'après le numéro précédent, cette direction doit être celle de la diagonale du parallélogramme AEFB. Donc les deux triangles AEF, DAC seront égaux comme ayant un côté égal adjacent à deux angles égaux, savoir : EF = CD, puisque EF = AB = CD-, les angles AFE et ACD égaux comme alternes-internes; les angles AEF et ADC égaux par la même raison. Donc AE = AD. Donc la diagonale représente bien l'intensité de la résultante.
