COMPOSITION DE PLUSIEURS FORCES CONCOURANTES
13. En partant du théorème (10), il est facile d'obtenir la résultante d'un nombre quelconque de forces appliquées en un même point. En eifet, supposons qu'un certain nombre de forces P, P', P", P'", appliquées au point A, soient représentées en grandeur et en direction par
les droites AB, AC, AD, AE. Les deux forces P et P' auront une résultante r représentée par la diagonale AL du parallélogramme ABLC. De même la diagonale AM du parallélogramme ALMD représentera la résultante r' des forces r et P", ou la résultante des forces P, P' et P''. Enfin, la diagonale AN représentera la résultante R de r' et de V", c'est-à-dii^e la résultante des forces P, P', P''' et P'".
En réduisant la construction à sa partie essentielle, on voit que, si Von décrit un contour polygonal dont, les côtés successifs soient parallèles à la direction des foixes P, P', P", ..., et proportionnels à leur intensité, la droite qui fermera le contour représentera en grandeur et en direction la résultante cherchée.
Firr. 6.
14. Si le contour se ferme de lui-même, les forces P, P', P", . . ., se feront équilibre, et réciproquement.
15. Considérons en particulier le cas de trois forces X, Y, Z, représentées par les trois côtés coniigus AB, AC, AD du parallélipipède ABCDG. Il résulte de la construction pré-
— cédente que la résultante R de ces trois forces est représentée ^ par la diagonale AG de ce pa-
rallélipipède.
16. Eéciproqueinent, on peut toujours décomposer une force R, dirigée suivant xAG, et appliquée au point A, en trois autres dirigées suivant trois droites quelconques Ax, Aj, Kz partant du point A et non situées dans un même plan; car, si l'on mène par le point G trois plans parallèles aux plans xy, xz^jz, on formera un parallélipipède, et AG = R sera la résultante des trois forces X, Y, Z, représentées par les arêtes AB, AC, AD.
PKEMIEKE LEÇON. ^
RELATIONS ENTRE UNE FORCE ET SES COMPOSANTES SUIVANT TROIS AXES RECTANGULAIRES.
17. Dans le cas où les composantes sont perpendiculaires entre elles, les lignes AB, AC, AD sont les projections orthogonales de AG sur les trois axes Kx^ Ky, kz\ donc si l'on designs par «, Z>, c les angles que la résultante fait avec les axes, on aura
(i) X=Rcos«, y = RcosZ', Z=Rcosc.
Ces relations font connaître immédiatement les composantes X, Y, Z, quand R, a, Z>, c sont connus. Si, au contraire, les forces X, Y, Z sont données, on pourra en déduire R, a, Z», c. En effet, en élevant au carré les équations (i) et les ajoutant, on aura
de
Il en résulte
cos^a -\~ cos'^b -4- cos'c = i =
(2j R = v/X'-h Y'-' + ZS
et, par suite,
cos/» =
-HZ^
^ïë^-
18. Les formules (i) sont générales, pourvu que, regardant comme posilwes les forces qui tirent le point A dans le sens des coordonnées positives, et par suite comme négatives celles qui tirent dans le sens contraire, on prenne pour a, b, c les angles que fait la direction de la résultante avec les parties positives des axes Ax, Aj, kz.
coulis DE MÉCANIQUE
Pour s'en convaincre, il suffit d'examiner, par exemple, Fig. 7. le cas où X et Y étant positives,
Z serait négative. On voit, en construisant le parallélipipède ABCD, que la résultante R fait avec Ax et Kj des angles aigus et avec Kz un angle obtus; on a donc
cos«^o, cosè^o, cosc<^o, et il vient
et
X = R co%a, Y = R cos è,
• — Z = R. cos(7r -^ c).
Mais cette dernière égalité revient à Z = R cosc.
Ainsi les formules (1) sont encore applicables dans ce
cas.
DEUXIEME LEÇOIT.
