Comme la formule

— nrlQ (l) dt

n'est pas intégrable dans tous les cas, il est nécessaire de restreindre un peu la généralité da problème en clierchanl seulement la loi du mouvement quand le pendule effectue de très-petites oscillations de part et d'auUe de la verticale Os, En premier lieu on ne diminuera pas la généralité du problème en supposant nulle la viiesse du mobile au point A; car si elle nétait pas nulle en ce point, il suffirait d'augmenter l'angle a d'une certaine quantité pour avoir le point où cette vitesse est nulle, et c'est ce point que Ton prendrait pour le point A. Si donc on fait k =:=: o, la formule (1) se réduira à

, , ^ /a dO

(2) dt =z~

§ \Ji cosQ — 2 cosa

Remplaçons maintenant cosG et cosa par leurs développements en séries, et comme les angles a et 0 sont trèspetits, négligeons les puissances de ces quantités à partir de la quatrième. Il vient alors

d'où

et

COS9=:i -, COSa:=:I

2 ces 0^2 ces a

dt^=~-i/

2o8 COURS DE MÉCAMQUE.

d'où, en intégrant,

( oj / = W - arc cos -»

Va' a

Nous n'ajoutons pas de constante, parce qu'on doit avoii' Q ■==. a. pour i = o.

La formule (3) donne

(4) 6 = acos( t

expression de l'arc décrit pendant le temps t.

283. Pour avoir la durée T de la première oscillation '(et l'on sait déjà que les oscillations sont isochrones, quelle que soit leur amplitude), il faut faire dans l'équation (3) 0 = — a, d'où il résulte

T =3 i /-arc cos (—i).

Lorsque nous avons supposé que l'équation (3) donnait simultanément £ = o , 6 = a , nous avons admis tacitement que nous choisissions o pour l'arc dont le cosinus est l'unité. Or, pendant la première oscillation, quand l'angle 0 varie d'une manière continue de 0 = aà0 = — a, le temps t croît d'une manière continue, ce qui exige

que arc cos — croisse aussi d une manière continue; mais

au départ cet arc est o : donc, à la fin de l'oscillalion, on ne peut le prendre égal à Stt, à Srr,..., arcs qui ont tous — I pour cosinus, mais à ît. On a par conséquent

Ce résultat fait voir que le temps de l'oscillation ne dépend pas de a, et par conséquent que la durée d'une oscillation est indépendante de son amplitude, pourvu que celle-ci soit très-petite.

VINGT-DEUXIÈME LEÇON. 2O9

Le temps d'une demi-oscillatioti se trouve en faisant 0 = 0 dans la formule (3), on obtient - i /- ou - T, résultat facile à prévoir.

Les résultats précédents s'étendent aux oscillalions d'un point pesant, écarté Irès-peu de la verticale et

assujetti à se mouvoir sur une Fig. 93. •'

courbe dont le plan osculateur

^^■^ ^ au point le plus bas B est ver-

tical. En e{T'et, le ceicle osculateur au point B se confondant avec la courbe, dans une étendue très-petite, le mouvement auia lieu, de part et d'autre du point B, comme sur le cercle osculateur de la courbe en ce point. Dès lors la durée commune de

chaque oscillation sera t. \ ■-•> p étant le rayon du cercle osculateur au point B.

285. Si le plan osculateur de la courbe au point B le plus bas faisait un angle /' avec le plan horizontal ZV,

Fig. 96, il faudrait décomposer le poids

P en deux forces, l'une normale au plan ZU et qui serait détruite par la résistance de <:e plan, l'autre Q = ^sin/, située dans ce plan et qui seule ferait mouvoir le mobile, force d'ailleurs constante en grandeur et en direction. On aura donc le temps d'une oscillation en substituant, dans la

formule T =; tt i/ -■> p à a et g sini à g, ce qui donne

y g smi

286, Il est difficile dans la pratique d'apprécier la Sturm. — Méc, I. 14