COS V =^^; V

De plus, si X, Y, Z désignent les sommes algébriques des forces P, P', P", . . . , estimées suivant les axes Ox, Oj-,

Oz., on a

X ■=-■ P cosa -t- '»:*' cosa' -f- . . . ,

Y =: p COSP + P' COSp' -f ■ - . ,

z = p COS7 -I- p' C0S7' + . . . , Les équations (i) deviennent donc

i df

' NV — -}- X = O, dx

NV -f- + Y — - o, dy

]NV 4^+ Z = o.

Comme N est une inconnue auxiliaire, on trouvera les conditions d'équilibre cherchées en éliminant IN ou JNV entre ces équations, ce qui donne

^'' d^- df^-lf

dx dy dz

DEUXIÈME LEÇON. l5

On énonce ce résultat en disant que les sommes dès forces estimées suivant trois axes doivent être proportionnelles respectivement aux dérivées partielles du premier membre de V équation de la surface, rapportées au point d^ application.

26. Si les équations (6) sont vérifiées, il y aura équilibre, et il sera facile de connaître le sens suivant lequel agit la résultante des forces P, P', P", . . . , car on a

T'JV

ce qui montre que V est de signe contraire à l'un quelconque de ces quotients. Quant à N, C[ui est la pression exercée sur la surface par les forces données, elle sera représentée par l'un des trois quotients

'"df

(Le

,r df (If àf

dx dj dz

27. Les deux équations de condition, trouvées plus haut, auraient pu être établies plus rapidement, en observant que les cosinus des angles que fait la résultante des forces P, P', P", . . . avec les axes sont proportionnels à

et que les cosinus des angles que fait la normale AN avec les mêmes axes sont proportionnels à

dx. dy dz

On exprimera que ces deux directions coïncident, en écrivant que leurs cosinus sont proportionnels, c'est-à-dire que

dx dy dz

l6 COunS DE MÉCANIQUE.

28. Si, donnant seulement les directions et les intensités des forces P, P', P", . . . , on ne fixait pas la position du point A sur la surface, il faudrait joindre, aux deux équations d'équilibre, l'équation de la surface

ce qui déterminerait complètement les coordonnées du point A.

ÉQUILIBRE d'un POINT ASSUJETTI A DEMEUREll SUR UNE COURBE

29. Supposons maintenant que le point d'application des forces P, P', P", . . . soit assujetti à demeurer sur une courbe fixe LM.

On fera voir, comme dans le cas précédent, que la condition nécessaire et suffisante pour que l'équilibre ait lieu, est que la résultante R de toutes ces forces soit perpendiculaire à la tangente AT à la courbe, c'està-dire située dans le plan normal mené par le point A. Or, en appelant a, b, c les angles que la résultante fait avec les axes, on a

(l) COS« = -, 005^; = — 5 cosc= —

D'ailleurs, x, j, z étant les coordonnées du point A, et ds la différentielle de l'arc de courbe, la tangente AT fait avec les axes des angles dont les cosinus sont

dx dy dz

ds ds ds

donc

H d^ X dy Z dz

DEUXIEME LEÇON. ly

donc, comme l'angle RAT est droit, on aura

ces RAT := G ou

(2) 'Xdx + Ydy -\-Zdz=zo-^

c'est la seule condition d'équilibre dans le cas actuel.

Si le point A n'était pas donné d'avance, on aurait pour le déterminer l'équation (2) et les équations de la courbe.

30. Quand le point A est donné, on peut choisir la tangente AT pour l'un des axes, l'axe desx par exemple, et alors, en décomposant chaque force en deux autres, Tune dirigée suivant la tangente AT, et l'autre située dans le plan normal, on voit que la seule condition d'équilibre sera

puisque les forces normales à la courbe ne peuvent produire aucun effet. C'est ce que donne encore l'équation générale, car dans ce cas on a

cIy dz

ds ds

et l'équation (2) se réduit à

Sturm. — iliéc, I.