R = VX-' + Y' + Z

On devra donc avoir

X =^ o, Y ^= o, Z t= o, c'est-à-dire

[ P COSa H- P' ces a' 1- P" COSa" -h . . :z=r O,

( l) P COS p ;- P' CCS p' -I- P" CCS p" -F- . . . r= O,

( p COS7 -1- P' COS7' ~l- P" COS7" -!- . . . = O,

et réciproquement, si ces conditions sont remplies, il j aura équilibre, puisque la résultante sera nulle.

23. Il est aisé de véiifîer que, si ces conditions sont remplies, l'une quelconque des forces sera égale et opposée à la résultante de toutes les autres.

En effet, désignons par R' la résultante des forces P', P", P'",. . . , et para', b\ c' les angles que celle résultante fait avec les axes; nous aurons

/ R' cosa' — P' cosa' + P" cosa" + . . ,

(2) j R'cOs6'=r:P'cOSp'-f- P"cOSp"-t-. . -,

( R' cos c' = p' C0S7' -f- P" C0S7" + . . . .

La comparaison de ces équations et des équations (i) donne

/ î* cosa =n -;- R' cosa', Cl'

(3) ! Pcosp=~-- Ll'cosp', ( P cos 7 = — R' C0S7';

d'où Ton tire, en élevant au carré et ajoutant membre à membre,

P^ ^^ R'^ ou P =3^^ R', et, par suite,

cos a =; — cosa', cos p =:r — COS è', COS y — - — cosc',

ou bien

a = - — a' , [3 = 71- — b' , 7 = TT — c' i

d'où l'on conclut que la force P est bien égale et directement opposée à la résultante R' des forces P', P", P'",.. . .

ÉQUILIBRE d'un POINT ASSUJETTI A SE MOUVOIR SUR UNE SURFACE.

24. Nous avons supposé jusqu'à présent que le point A, à part l'action des forces P, P', P", . . . , était parfaitement libre dans l'espace. Les conditions d'équilibre ne seraient plus les mêmes si le point était assujetti à demeurer sur une surface ou sur une courbe donnée.

Dans le premier cas , si le pointA est sollicité par une force R normale à la surface considéréc; il devra être en repos. Car il ne pourrait commencer à s'éloigner de sa position que sui-

DEUXIÈME LEÇON. l3

vanl la direction d'une des langentes à la surface au point A, et comme toutes les tangentes font un angle droit avec îa direction AN de la force, il n'y a pas de raison pour que le mouvement naisse dans un sens plutôt que dans un autre; donc le point A restera en repos.

Au contraire, si le point A est sollicite par une force S, dont la direction ne soit pas normale à la surface, il ne restera pas en équilibre. En effet, on peut décomposer la force S en deux autres, l'une dirigée suivant la normale AN à la surface, l'autre suivant l'une des tangentes AT à cette surface, savoir celle qui est à l'intersection du plan tangent et du plan SAN. La première force ne fera que presser le point sur la surface; mais la seconde aura tout son effet, et dès lors le point A glissera sur la surface.

Ainsi, la condition Tiécessaire et suffisante pour quun point A, placé sur une surface et sollicité par des forces quelconques P, P', P", . . . , reste en équilibre^ est que ces forces aient une résultante R normale à la surface.

25. Pour exprimer cette condition par l'analyse, prenons trois axes rectangulaires quelconques Ox, O^-", O^. Appelons a, /5, -/; a', (3', y';.. ., les angles que font les forces P, P', P", . . . avec les axes. Il y aura équilibre si nous introduiy^ 1' ' sons une force N égale et direc-

tement opposée à R. Donc si ?.,

p., V désignent les angles que la force N (dirigée suivant AI

ou AF) fait avec les axes, nous aurons

I N ces À -I- P cosa 4- P' cosa' -1- . . . = o,

(i) I Ncosf>t -h P cosp -j- P'cosp'H-. . . = o,

' Ncosv -1- P C0S7 -f- P' cosy'-;- . .=: g.

Ces trois équations peuvent être mises sous une forme

l4 COURS DE MÈCAWIQtlE.

plus simple. En effet, soit

(2) /(.r, jr, z)--a i'éauation de la surface ; on aura

(3) COS>i =:

V(l;) -^(^) -(Zz,

Il faut laisser le double signe, parce que la force inconnue N peut tirer de A vei^s I ou de A vers I'. Si l'on pose, pour abréger,

'[df\ , :df\

\dx) -" \dy)

on a

cos)i=-- V-f ,

COSa = V —, dy