La courbe dont l'équation est
est une parabole L'HL, dont l'axe est dirigé suivant Aj, et dont le sommet H est situé à la hauteur AH = h. Quand le point que l'on veut atteindre est dans l'intérieur de cette parabole, le mobile peut être lancé suivant deux directions différentes; il n'y a plus qu'une seule direction convenable, si le point est sur la parabole même; enfin quand ce point est hors de la courbe, le problème n'est plus possible.
248. L'enveloppe de toutes les paraboles du numéro précédent est la parabole HLM, lieu des points que le projectile ne peut atteindre que dans une seule direction.
DES COMPOSANTES DE LA FORCE MOTRICE, 249. DÉCOMPOSITION DE LA FORCE MOTRICE EN FORCE TANGENTIELLE
ET FORCE CENTRIPÈTE. — Dans le mouvoment d'un point en ligne
IQ.
courbe, la force motrice se décompose à chaque instant en deux forces : l'une, dirigée suivant la tangente, est nommée hfo7ce tangenticlle; l'autre, dirigée suivant le rayon de courbure, se nomme la force centripète. En désignant la première par T, la deuxième par Q, on aura
mcU' ~7F
' Le plan qui passe par la force motrice et par la tangente est le plan osculateur au point M.
230. Quand le point matériel est sollicité par plusieurs forces dont P est la résultante, on peut décomposer chacune des premières forces en deux autres dirigées l'une suivant la tangente et l'autre perpendiculairement à cette tangente. Une force normale à la trajectoire n'influera pas sur l'accélération du mobile. Une force dirigée suivant la tangente ne tendra pas à changer la direction du mobile.
2S1. Point assujetti a se mouvoir sur une courbe donnée. Force centrifuge. — Un point M qui n'est actuellement sollicité par aucune force et qui ne se meut qu'en vertu de sa vitesse acquise, étant assujetti à demeurer sur la courbe AMB, parcourt sur la trajectoire des espaces égaux en temps égaux.
La pression exercée par le mobile M sur la courbe ou sur le lien
qui l'oblige à parcourir cette courbe, est égale à — • Cette force,
P égale et contraire à la force centripète, est ce qu'on appelle Xa force centrifuge.
232. Supposons en second lieu que' le point M soit sollicité par une certaine force motrice P. Soit N une force égale et contraire à la pression que le point M exerce sur la courbe. Décomposons la force P en deux autres T et Q, la première dirigée suivant la tangente, et la seconde située dans le plan normal de la courbe. Soit F la résultante des deux forces Q
et N, situées toutes les deux dans le plan normal. La force F agira
suivant le rayon de courbure, et l'on aura
dt
La force F, dirigée suivant le rayon du cercle osculateur et qui agit à chaque instant pour empêcher le mobile de s'écarter de la courbe
DES MATIÈKES. 2q3
suivant la tangente, est la force centripète. La force F', égale et contraire à la force F, est égale à la fojxe centrifuge.
253. Si la force motrice était normale à la courbe, le mouvement serait uniforme.
Si la force motrice était dirigée suivant la tangente à la courbe, la force N se confondrait avec la force centripète et la pression exercée sur la courbe par le mobile avec la force centrifuge F'.
2Si. MoUVEMExNT d'un POINT SUR UNE SURFACE. — Soit AMB
{fg. 84) la courbe que le mobile décrit. On peut faire abstraction de la surface, pourvu que l'on joigne à la force motrice P une force N, égale et contraire à la pression que le mobile exerce sur la surface. Décomposons encore la force P en deux autres T et Q, l'une tangente et l'autre normale à la trajectoire AMB. Les deux forces Q et N normales à la trajectoire se composent en une seule F dirigée suivant le rayon du cercle osculateur de la trajectoire au points, et l'on a
on aura aussi
dt ' p F:Q=sinQMN;sinFMN,
ce qui détermine la position de MF ou du plan osculateur. quand on connaît c, p, Q et l'angle QMN.
On a la pression exercée par le point mobile sur la surface, en cherchant la résultante égale et contraire à N, de la force Q et d'une force F', égale et contraire à F.
25o. Si la force motrice était nulle, on aurait v = constante, et N serait à la fois la mesure de la force centripète et de la force centrifuge.
Si la force P était dirigée suivant la tangente à la trajectoire, la résistance de la surface serait la force centripète. Dans ce cas, le pian osculateur contient la normale à la surface, et la trajectoire est la ligne la plus courte que l'on puisse tracer sur la surface entre deux quelconques de ses points.
2S6. Autre manière d'obtenir les résultats précédents. —
Huyghens trouve les composantes de la force motrice en considérant cette force comme constante pendant un temps infiniment petit, et le mouvement comme s'effectuant sur le cercle osculateur.
237. Remarques sur la force centrifuge. — Quand un corps solide tourne uniformément autour d'un axe fixe, chaque point de
ce corps possède urie force centrifuge particulière F. En appelant T le temps d'une révolution entière et p îe rayon du cercle, on a
Les forces centrifuges des différents points sont donc proportionnelles à leur distance à l'axe.
238, 259. Application a la terre.
VINGT ET UNIEME LEÇON
DES FORCES VIVES ET DU TRAVAIL DANS LE MOUVEMENT d'un point MATÉRIEL.
260, 261. Différentielle de la force vive. P désignant la
force motrice qui sollicite un mobile M et X, Y, Z ses composantes,
on a
dmv^ == 1 [Xdx + Ydj-hZdz).
262. La quantité mi>'^ ou le produit de la masse d'un mobile par le carré de sa vitesse est ce qu'on appelle la force vice du mobile.
263. Autres formes de Xdx-hYdj-i-Zdz. — Soit w l'angle PMT que la force motrice P fait avec la tangente. On a
X dx + Ydj -\-Zdz~V cosw ds.
Si l'on décompose la force P en une force tangentielle T et une force normale Q, on a
Jidx + Ydy-\-Zdz = Tds.
Enfin , si l'on appelle dp la projection MI de l'arc MH = ds sur la direction de la force motrice, on a
Xdx + Ydj + Zdz = ^dp.
264. Définition du travail. — Le produit Tds que l'on obtient en multipliant la composante tangentielle de la force P par l'élément de l'arc parcouru dans l'instant dt se nomme travail élémcutairc ou élément de travail de celte force. L'élément de travail est considéré comme positif lorsque la force tangentielle agit dans le sens du mouvement, et comme négatif dans le cas contraire, ou, ce qui
revient au môme, suivant que l'angle w est aigu ou obtus. Le signe du travail élémentaire sera donné par l'expression Pcoswrf^-, en considérant P et ds comme positifs.
Le travail élémentaire est égal au produit de la force par la projection de l'élément du chemin parcouru sur la direction de cette force,
20-5. Le travail élémentaire de la résultante de plusieurs forces est égal à la somme algébrique des travaux élémentaires de ces forces.
266. On nomme travail total d'une force P pour un chemin déterminé AB l'intégrale / Tds, prise entre les limites qui correspondent aux extrémités de l'arc parcouru. Les forces normales à la trajectoire n'influent pas sur le travail total.
267. Relation entre le travail et la forge vive. — L'accroissement de force vive d'un mobile, lorsqu'il passe d'une position à une autre, est égal au double du travail de la force motrice.
268. Si la force P est la résultante de plusieurs forces P, , Pj , . . . , dont les composantes tangentielles sontT, , T^, T3,. . ., on aura
mv-" — mP = 2 ( Tt, ds + Tt, r/i- + • • • V
On appelle foires mouvantes celles qui font un angle aigu avec la tangente, Qi foires résistantes celles qui font un angle obtus et dont l'effet est de retenir le mobile dans son mouvement sur la courbe.
L'accroissement de force vive d'un mobile^ lorsqu'il passe d'une position à une autre , est égal au double de F excès du travail des forces mouvantes sur le travail des forces résistantes.
269. Conséquences du principe des forces vives. — Quand le mobile n'est sollicité par aucune force ou qu'il l'est seulement par des forces toujours normales à la trajectoire, le mouvement est uniforme.
270. Lorsque Xr/^ + Y<ff + Zr/s est la diiïérentielle exacte d'une fonction /(jr, /, z) de trois coordonnées .r, j, z considérées comme des variables indépendantes, l'accroissement de force vive, lorsque le mobile passe de la position (a, 6, c) à la position (.r, j, z) , ne dépend pas de la trajectoire dans l'intervalle, ni du temps qui s'est écoulé entre les deux positions extrêmes, mais seulement des coordonnées de ces deux positions.
