SUITE DE LA THÉORIE DU PENDULE SIMPLE
288. Autre méthode. — Les mêmes notations étant conservées, on a
—rr + - smô = o,
dt
-Wl
Soient on en déduit
\/-i. COS Ô — i. COS a X — l — COS 9 , ^ = I — COS a ; dx
y'bx — x' i / 289 à 291. DÉVELOPPEMENT EN SÉRIE.
292, 293. Pendule cycloïdal. — Soit A le point de départ du
mcbile où nous supposerons sa vitesse nulle, et soit M (.r, j) sa
DES MATIÈIIES. 3oi
position à une époque quelconque t. Soit a le diamètre BD du cercle générateur. En appelant h le rayon de courbure BK — 2BD de la cycloïde au point B, on a
v^ \'-xg{li
b nx — h
arc cos-
La durée des oscillations est rigoureusement indépendante de leur amplitude, et différents mobiles, partis au même instant, sans vitesse initiale, de divers points de cette courbe, atteindraient au même instant le point le plus bas.
294. Construisons la développée de la cycloïde, composée des deux moitiés KG et KG' d'une cycloïde égale à la première. Supposons qu'un point pesant soit attaché à l'extrémité d'un fil lié par son autre extrémité au point K. Si le mobile, dans une de ses positions, se trouve sur la cycloïde GBC', ce point décrira la cycloïde CBC'. Toutes les oscillations devront s'effectuer dans un même temps
é2:al à
295, 290. Tautochrone. — On appelle tautochrone toute ligne courbe sur laquelle un point pesant abandonné sans vitesse initiale d'un point quelconque de cette courbe parvient dans le même temps au point le plus bas. La cycloïde est la seule courbe tautochrone dans le vide.
297. Pendule dans un milieu résistant. — En désignant par R la résistance du milieu, l'équation du mouvement sera
^ = g.smS-R,
R = «^ = ê ^ k k dt'
En posant 7 = i / i — 7T2' 0^ ''"'^'^
3o2 TABLE ANALYTIQUE
Les oscillations sont isochrones comme dans le vide, et leur durée est augmentée dans'le rapport de i à 7. Les amplitudes successives forment une progression géométrique décroissante.
298. Lorsque le mouvement a lieu sur une cycloïde, toutes les oscillations se font rigoureusement dans le même temps, et cette oourbe est encore isochrone dans un milieu qui résiste proportionnellement à la vitesse.
