Expression de la vitesse en coordonnées polaires
r'dO^
303. Composantes de la vitesse au point M, suivant OM et sui- Pj JQ2 • vant une perpendiculaire à OM :
, dr p'cosd =-r> dt
psiniî'
dt
r - fZO — cdt^ dv^ = — a R dr.
30o. Expression de la vitesse indépendante du temps :
dH-
DES MATIÈRES. 3o3
306. Expressions indépendantes du temps des composantes de la vitesse suivant OM et suivant une perpendiculaire à celte droite :
cd~
(;cos(î = TT- csin<î=--
La vitesse en un point de la courbe est en raison inverse de la perpendiculaire ahcdssée du point 0 sur la tangente à la trajectoire, au point considéré.
307. Expression de la fouce accélératrice en fonction des coordonnées du point mobile.
308. Lois DE KEPLER. — 1° Les trajectoires de toutes les planètes sont des courbes planes, et pour chacune d'elles l'aire engendrée par le rayon vecteur parti du soleil et aboutissant à la planète est proportionnelle au temps.
2° Ces courbes sont des ellipses dont l'un des foyers est au soleil.
3° Les carrés des temps employés par les différentes planètes pour accomplir une de leurs révolutions sont entre eux comme les cubes des grands axes de ces ellipses.
Ces lois se rapportent au centre de gravité de chaque planète, ainsi qu'à celui du soleil.
309. Conséquences des lois de Kepler. — La force motrice qui sollicite une planète est constamment dirigée vers le centre du soleil; cette force est attractive.
r fl(i — e )
La foi'ce R est en raison inverse du carré de la distance du centre de gravité de la planète a celui du soleil, na est le grand axe de l'ellipse; e l'excentricité.
La constante c représente le double de l'espace parcouru par le rayon vecteur, dans l'unité de temps.
312. Si l'on appelle T le temps de la révolution complète de Ix planète considérée, on a
La force accélératrice rapportée à l'unité de distance est la même pour toutes les planètes.
3o4 TABLE ANALYTIQUE
YINGT-CINQUIÈME LEÇON.
suite du mouvement des planètes.
313, 314. Mouvement d'un point attiré par un centre fixe EN raison inverse DU CARRÉ DE LA DISTANCE. — La trajectoire est plane et située dans le plan qui passe par le point fixe et par la direction de la vitesse initiale.
La constante c représentant le produit de la vitesse du mobile par la perpendiculaire abaissée du point fixe sur la tangente, à l'ori-
gine du temps, et b la valeur de — ^ u^, à l'origine du temps, on a
Équation de
la trajectoire :
I hé
1 + i /i ^ cos(6 — w)
La courbe est une ellipse, une parabole ou une hyperbole, suivant qu'à une époque quelconque du mouvement on a
Différents mobiles, lancés successivement du même point de l'espace, avec des vitesses égales, mais de directions différentes, parcourraient tous des courbes de même espèce.
316. Cas où la courbe est une ellipse. — En appelant 2« le erand axe et e l'excentricité, on a
bà u
en posant n = — '— j on a a Y a
nt ~ u — e sm u.
DES MATIÈRES. 3o5
On compte le temps à partir du moment où la planète est à son périhélie.
318. Sur BA comme diamètre décrivons une circonférence de cercle. Soient M la position actuelle du mobile et C le centre de l'ellipse. Prolongeons l'ordonnée MP jusqu'au point K où elle rencontre la circonférence. L'angle KCA = u. L'angle « est appelé Xanomalie excentrique de la planète, tandis que l'angle MOA = 0 — w se nomme Vanomalie vraie.
319. Équation entre l'anomalie vraie et l'anomalie exceptrique :
co)
tang-(9
/i + tf
taug - 1 e * 2
320. Durée de la révolution entière de la planète 2 7T- rt \/a
y/fx
Force accélératrice, à l'unité de distance, commune à toutes les planètes :
Il est bon d'observer que l'excentricité de toutes les orbites planétaires est très-petite, car pour la planète Mars, dont l'excentricité
est la plus grande, on a e = tt-*
