ÉQUILIBRE DES FORCES PARALLELES

47. La condition nécessaire et suffisante pour que plusieurs forces parallèles P, P', P", ... se fassent équilibre, est que l'une d'elles, P par exemple, soit égale et directement opposée à la résultante R' de toutes les autres. Pour exprimer cette condition par l'analyse, prenons / trois axes, dont l'un OZ soit pa-

rallèle à la direction des forces.

La force P et la force R' se faisant équilibre, on doit avoir

R'= — P ou P-f-R'z=o;

mais

Donc une première condition d'équilibre est que l'on ait

Il faut, en outre, que les directions des forces P et R' coïncident, par conséquent que l'x et Vj de leurs points d'application soient les mêmes. Or, si a et jS sont les coordonnées du point K, où est appliquée la force R', on doit avoir (43)

Fig.

R' P = py H- p"j" -}-....

Mais Duisque a =^ x, ^=^jr, R' = — P, il en résulte

ces deux nouvelles équations d'équilibre

(2) p,r + P'.r'+P"x"-!- . . rr=o,

(3) PjH p'j'-4 p'y-i. . ^o.

4-8. Réciproquement, si les conditions (i), (2) et (3) sont remplies, la force P sera égale et directement opposée à la résultante R' des autres foices, et il y aura équilibre.

49. Ainsi les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'il y ait équilibre sont données par les trois équations

(4) j I Px+ p'^'-f- p"^"^-. .-0,

( py ;- p'y | p"j" |- . . . ^- o.

On les énonce ordinairement en disant que la somme algébrique des forces doit être nulle, et que la somme algébrique des mom-ejits des forces, par rapport à deux plans parallèles à leur direction, doit être nulle pour chacun de ces deux plans.

50. Quand le système renferme un point fixe O, les forces proposées ne peuvent pas, dans le cas de l'équilibre, se réduire à un couple. En effet, si l'équilibre existe, le point O éprouve une certaine pression, déterminée de grandeur, de direction et de sens. Par conséquent, si l'on remplaçait la fixité du point O par une force L égale et directement opposée à cette pression, il devrait y avoir encore équilibre; donc un couple et une force unique se détruiraient, ce qui est absurde.

Il résulte de là que, dans le cas d'un point fixe, les forces doivent avoir une résultante unique, dont la direction passe par le point fixe, sans c[uoi cette force et la force L ne pourraient se faire équilibre. Cette condition est d'ailleurs suffisante.

Or, si l'on prend le point fixe pour origine et l'axe

20 COURS DE MÉCAIVIQUE.

des z parallèle à la direclion des forces, la résultante des forces devant être dirigée suivant cet axe, ses moments, par rapport aux plans zOx et ^Oj, devront être nuls, et par conséquent on aura

Dans ce cas les conditions d'équilibre se réduisent à deux.

Si le point fixe était le centre des forces parallèles, ces conditions seraient remplies d'elles-mêmes. Par conséquent V équilibre existe dans un système de forces parallèles quand on jixe le centre de ces Joixes, ce qui est d'ailleurs évident

QUATRIEME L^ÇON . 'KJ