POIDS SPÉCIFIQUE. DENSITÉ

54. Quand la matière d'un corps est homogène, des volumes égaux de ce corps ont des poids égaux; en d'autres termes, le poids est proportionnel au volume.

Si l'on compare entre eux deux corps homogènes, formés de substances différentes, les poids de chacun d'eux,, sous le même volume, sont différents.

On appelle pesanteur spécifique d'un corps le poids de l'unité de volume de ce corps. Si vs désigne ce poids, P le poids du corps et i^le volume, on aura donc

On prend pour unité de poids le poids de i centimètre cube d'eau distillée, à son maximum de densité, c'est-àdire à la température de 4"^^- L^ poids d'un corps varie avec le lieu où il est pUcé 5 mais, comme les poids de tous les corps varient dans le même rapport, le poids d'un corps quelconque exprimé en grammes est le même partout.

QUATRliUME LEÇON. 3l

55. Quand un corps n'est pas homogène, on nomme densité moyenne le rapport du poids de ce corps à son volume. On appelle densité, en un point M de ce corps, la limite vers laquelle tend la densité moyenne d'un volume de matière tout autour du point M, quand ce volume tend vers zéro. La densité d'un corps non homogène est ordinairement une fonction continue des coordonnées de ses différents points.

CENTRE DE GRAVITÉ d'uN ASSEMBLAGE DE CORPS.

56. Quand on connaît les poids et les centres de gravité de plusieurs corps liés entre eux d'une manière invariahle, on peut trouver le centre de gravité de leur ensemble, soit par la composition successive des poids de ces corps, soit par le théorème des moments.

Soient A (x, j, ^), A'(x', y, z'), A" (a:", j", ^")-les centres de gravité de différents corps, dont les poids

sont ;?, p', p" , Nommons P le poids total et a:,, ^j, z,

les coordonnées du centre de gravité du système ; on a (43)

' Par, =/?.7- -{- p' .T.' + p" x" -I- . . ,

( 2 ) I Pj, =py -T- p'y' -t- p"f -^ . . . ,

( Pz, =yp2 4- p' z\-\- p" z" -u . . . ,

équations qui font connaître P, Xi, y^ et z^.

Quand les corps sont homogènes, on peut, dans les égalités précédentes, substituer les volumes aux poids correspondants.

57. Si l'un des plans coordonnés, par exemple le plan des xy^ contient le centre de gravité, alors Zj = 0, et l'on a

(3) pz+p'z' + p"z"-v-... = o,

c esi-à-dire que la somme des tnoments des poids, par rapport à tout plan passant par le centre de f^ravité du système, est égale à zéro.

COLTIS DE MÉCANIQUE.

Fif[. 20.

PROPRIÉTÉS nu CEKTKS DE GRAVITÉ.

08. Soient A [x,j,z), k'[x',j',z'), k" {x",j\ z"),... les centres de gravité de plusieurs corps dont les poids sont respectivement p, p' , p" , .. . ^ et O le centime de gravité du système de ces poids; posons ÔA=r, OA=/-',OA"=/-",...:

si r on applique suivant OA, OA', OA", . . . des forces pr^ p' 1^' •, p"i'",' • -, ces forces se feront équilibre.

En effet, menons par le point O trois axes rectangulaires. Puisque le plan zOj'' passe par le centre de gravité, on aura (57j

(l) px-\-p' x' -\- j/'x" -^. . .zr^O.

Or on a '

x' = r' cosa', x" z= r" cosa", . . . ,

.r = rcosa, avec l'axe des x\ donc

a, a', a", . . . étant les angles que OA, OA', OA", . . . fuit

(2) prcoso^ -\- p' r' cos x' -\- p" r" cos a." + . . . = o.

Mais pr cosa, p' r' cosa', jy" r" cosa", . . . sont les composantes des forces ^r, p'r',. . . estimées suivant l'axe Ox. Donc, comme la somme algébrique de ces composantes est nulle, quelle que soit la direction de cet axe, les forces /?/', p'r' , .... appliquées suivant OA, OA', . . . , se font équilibre (22).

69. On conclut de là que, si les poids appliqués en A. A', A", . . . iont égaux j des forces appliquées au point O et représentées par les droites OA, OA', OA", . . . se font équilibre .

60. Réciproquement, si des forces appliquées en un même point O, et représentées, en graiideur et en direc-

tion, par OA = r, OA' := /', OA'' = r"...., se font équilibre, des corps ayant tous des poids égaux à p, et leurs centres de gravité aux points A, A', h".. . . , formeront un système dont le centre de gravité sera au point O.

En effet, puisque les forces se font équilibre, on a

(i) rcosa + /•'cosa' + /-"cosa" -r

par suite

(2) prcosa. -\- pr' cosa.' -T- pr" coia."

OU bien

p^' -\- p.r' -r- px" -4- . . . =

Mais si p désigne le poids du système, et Xj, ji, z^ les coordonnées du centre de gravité, le premier membre de la dernière équation est égal kVxx. Donc

On démontrerait de même que Ton a

(4) Ji = o, z, =0;

donc le point O est le centre de gravité du système.

61. Soient A (a-, j, z), A' [x'.f, z'), A" {x",y", z"),.,. Pj 21 l^s centres de gravité de divers

poids;?, //,//',..., et G (xi,ji, z,) le centre de gravité du système, les axes étant menés par un point quelconque. Posons

OA =: / , OA' -^ r', OA" = r'\..., OG — r„

On a, comme nous l'avons vu (S6) ,

IP.ri =: p.x -i- p'.t' -\~ p" c" -r- . ,. , , Pj, =py +?' j' -;- p"f -t- . . . , p z, =/)2 + p' ■^' -'\~ p" z" -i- ■ • • . Stl'rm. — Méc, I. 3

Élevant ces trois équations au carré et ajoutant, on a

PVJ = p^r' H- y/V^ -f- p"'r"\-h ■ ■ ■

-+- ipp' {xx' + yy ' H- zz' ) H- ipp" [xx" -\- yy" -\- zz" )

Or on a

ÂÂ"'' = (:r - a-')=H- (r - r')' + (z - z?

=: r^ -f- r'2 — 2 {xx' -f- yy' 4- zs' ) ; aonc

2 (.rx' H- Jj' + zz') = r^ -f- r'^ — AA' ,

et de même

2 (.r^" + yy" -f- zz" = r^ + r"^ — ÂÂ" ' ,

et ainsi de suite.

Donc

PVJ = p-'r^ -f- /?'2 /-'» + p"^ r"^ -f- . . „

+ pp' (r' + ;-'^ — AÂ'O -hpp" (r' -f- ^-"^ — ÂI"')

ou bien

P^rl = {pr^ + p'r'' -h p" r"^ + . . .){p -^ p' +/' + .. ) — pp'UJ— pp"IK"'— ... — p'p"K'M'^— . . . , ou, à cause de P = /? ^- ;?'-[- p" -r- ■ ■ • ,

[ V'rl=V{pr^-hp'r'^-^-p"r"'~'r-...

( —/?/?' AA' — pp" AA" —

Cette formule donne la distance i\ du centre de gravité à un point quelconque O, en fonction des distances des points A. A', A",. . . au point O, et des dislances mutuelles de ces points. On pourra donc déterminer la position du centre de gravité G, en calculant par cette formule sa distance à trois points donnés.