CENTRE DE GRAVITÉ DES LIGNES
63. Les lignes et les surfaces que l'on considère en géométrie n'ont aucun poids ; mais on peut supposer que ces figures soient chargées d'une multitude de points matériels pesants, ou, ce C]ui revient au même, que tous leurs points géométriques soient sollicités par de petites forces parallèles. Le centre de ces forces sera, par définition, le centre de gravité de la ligne ou de la surface considérée.
Une ligne est homogène quand des parties de cette ligne égales en longueur sont sollicitées par des résultantes égales ou des poids égaux. De même, une surface sera homogène lorsque des portions égales de cette surface auront des poids égaux,
64. Pour trouver le centre de gravité d'une ligne homogène CD, il suffit d'exprimer que le moment du poids de cette ligne, par rapport à trois plans quelconques, est égal à la somme des moments des poids des éléments linéaires qui composent cette ligne, par rapport aux mêmes plans.
Soient CMD = / la longueur de l'arc entier, M (x, j-, z) un point quelconque de cette ligne, et posons
FifT. 22.
On a d'abord, entre des limites
36 COURS DE MÊCAPfIQUE,
convenables,
1= I ^cia:- -hdj'^flz\
Le moment de l'élément MM' = A5, par rapport au plan xj, est As {z -h ot.) , « devenant nul en même temps que A5. En effet, on peut supposer que le point M'(:p h- Ax, j -+- Ay, z -\- Az) soit assez rapproché du point M pour que l'arc MM' soit entièrement compris entre deux plans parallèles à xOj., menés par les points M et M'; par suite, le z du centre de gravité de ce petit arc sera compris entre z et z -j- Az. On pourra donc le représenter par z -\~ oc, ce étant moindre que Az.
Donc, si l'on désigne par Xj , yi , Zj les coordonnées du point G, centre de gravité de CD, on aura
(l) /z, = 2;zA* -H laA.v,
de quelque manière que la courbe soit partagée. Celte équation a donc encore lieu quand les éléments analogues à MM' sont infiniment petits et leur nombre infini. Mais on sait que
lim2aA5=:^o, lim2zA*= j z ds ;
donc
>.) /z, = jzcls
On opérera de la même manière par rapport aux plans xOz et jOz, de telle sorte que les cooi données du point G seront déterminées par les trois formules
(3) lxi=zlxds, lj'i= jyds, lzi=lzds,
ces trois intégrales étant prises entre des limites qui correspondent aux extrémités C et D de l'arc proposé.
# 60. Si la courbe est plane, on peut prendre son plan
pour celui des xj'', et alors Zj = o. On n'a donc plus
QVÀTKIÈME LEÇON. Z'J
besoin que des formules
(4) h:^= hr ds, 1)\ z= yds.
66. On peut encore parvenir aux formules (3) en considérant la ligne CD comme la limite d'une ligne polygonale et homogène qui lui serait inscrite.
En effet, on peut admettre comme évident que le centre de gravité d'une droite homogène est au milieu de sa longueur. Le moment de la droite MM', par rapport au plan xOj, sera donc
MM' X U -i- ^
ou
Az
VA^' -f- A j= -h Az- I z -{-
Zi étant le z du centre de gravité de la ligne polygonale inscrite, on aura donc
MM^Az z,.lMM' = 2MM'.z-4- 1
Si l'on passe à la limite, on aura
limSMjr = /, Mm lU^V. z == izds, li
donc
Iz, = l zdSt
MM'. A s lim2 ■ = o;
